Решение систем уравнений с двумя неизвестными

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными 2x2 с помощью калькулятора, введите коэффициенты системы и нажмите кнопку 'Решить'.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂

где x₁ и x₂ - неизвестные; a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ - коэффициенты системы; b₁ и b₂ - свободные члены.

Так как в данной системе число уравнений равно числу неизвестных, то система называется квадратной.

Решение систем линейных уравнений (Правило Крамера)

Нахождние корней системы линейных уравнений по формулам Крамера удобно для систем из двух и трех уравнений, так как вычисление определителей четвертого и более высоких порядков является достаточно громоздкой процедурой. Правило Крамера подходит для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель основной матрицы не равен нулю.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ..., x_n:


Матрица, составленная из коэффициентов этой системы, является квадратной, так как у нее n строк и n столбцов. Обозначим определитель этой матрицы:



Через обозначим определитель матрицы системы, в которой j столбец заменен на столбец правых частей уравнений



Тогда, если определитель , то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле Крамера (правило Крамера):



Рассмотрим применение формул Крамера на примере.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными


По формулам Крамера получаем

Решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. С помощью простых преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно находятся все неизвестные, начиная с x_n и заканчивая x₁.

Пример решения системы двух линейных уравнений методом Гаусса



Разделим первое уравнение системы на 3


Умножим уравнение (*) на 4 и вычтем из второго уравнения. Получим следующую систему уравнений



Из последнего уравнения находим y=2. Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим x.


Ответ: x=4, y=2.