Модуль и аргументы комплексного числа

Если изобразить комплексные числа z = a + bi точками на плоскости с координатами (a,b) в прямоугольной системе координат, где ось X - это ось действительных чисел, ось Y - ось мнимых чисел, то между точками (a,b) в этой системе координат и комплексными числами z = a + bi будет установлено взаимно однозначное соответствие. Таким образом, комплексное число можно также рассматривать как упорядоченную пару действительных чисел (a;b)=a+bi. Часто удобно рассматривать комплексное число (a;b)=a+bi как вектор c началом в точке (0;0) и концом в точке (a;b). Точке (0;0) при этом соответствует нулевой вектор.
Соответствие, установленное между множеством комплексных чисел с одной стороны и множеством точек или векторов плоскости с другой стороны, позволяет комплексные числа a+bi называть точками или векторами. При этом операции сложения, вычитания, умножения на целое число для комплексных чисел можно геометрически представлять как соответствующие операции для векторов.

Модуль комплексного числа

Модулем или абсолютной величиной |z| комплексного числа z = (a;b) = a+bi называется длина соответствующего этому числу вектора Очевидно, что сопряженные комплексные числа имеют равные модули и для них справедливо соотношение: Для действительного числа z = a + 0*i модуль совпадает с абсолютной величиной числа a.

Примеры.
1) |3-2i| = √(3²+(-2)²) = √(9+4) = √13;
2) |0+i| = |0+1i| = √(0+1²) = √1 = 1;
3) |2√6+5i| = √((2√6)²+5²) = √49 = 7.

Модуль разности комплексных чисел

По определению модуля число |z₁-z₂| это длина вектора разности двух векторов z₁ и z₂, но вектор z = z₁-z₂ - это вектор с началом в точке z₂ и с концом в точке z₁. Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.
Примеры.
Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями:
1) |z-i|=1; 2) |2+z|<|2-z|; 3) 2≤|z-1+2i|<3.
Решение.
1) Условию |z-i|=1 удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки i на расстояние, равное единице. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке i.

2) Перепишем исходное неравенство в виде |z-(-2)|<|z-2|. Теперь задачу можно переформулировать так: каково множество точек комплексной плоскости, которые расположены ближе к точке z=-2, чем к точке 2? Ясно, что этими точками являются все точки плоскости, лежащие левее мнимой оси и только они.

3) Перепишем исходное неравенство 2≤|z-(1-2i)|<3. Комплексные числа, удовлетворяющие этому двойному неравенсту, удалены от точки 1-2i на расстояние большее или равное двум, но меньше трех. Такие точки расположены внутри кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с центром в точке 1-2i и с радиусами r₁=2 и r₂=3, и на внутренней границе кольца.

Комплексные числа z, имеющие один и тот же модуль |z| = r, соответствуют, очевидно, точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности с центром (0;0) и радиусом r. Если |z|≠0, то существует бесконечно много комплексных чисел с данным модулем. И существует только одно комплексное число z=0, которое имеет модуль, равный нулю.

Аргументы комплексного числа

Геометрически очевидно, что комплексное число z≠0, z=a+bi будет однозначно определено, если кроме модуля задать, например, величину угла φ между положительным направлением оси X и вектором z: Аргументом комплексного числа z≠0 называется величина угла между положительным направлением оси X и вектором z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке. Очевидно, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, так как любой угол, отличающийся на кратное 2π число, также будет аргументом числа z, то есть у каждого комплексного числа существует бесконечное множество аргументов.
Таким образом, задание модуля и аргумента однозначно определяет комплексное число. Для числа z=0 аргумент не определен, но только в этом случае число задается своим модулем. Аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется неоднозначно.
Действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi, как показывает рисунок, выражаются через его модуль r=|z| и аргумент φ следующим образом:

a=rcosφ; b=rsinφ.

Перепишем эту систему в виде:

cosφ=a/r; sinφ=b/r. ⇔ cosφ=a/√(a²+b²); sinφ=b/√(a²+b²).

Очевидно, решений φ этих уравнений бесконечное множество, так как любые два аргумента комплексного числа отличаются на число, кратное 2π. Все множество аргументов обозначается arg(z) или arg(a+bi). Если имеется в виду один конкретный аргумент, обычно его обозначают буквой φ.

Примеры нахождения аргументов комплексного числа

Пример 1.
Найти аргументы комплексного числа i.
Решение.
a+bi = i ⇔ a=0; b=1 ⇔ r=√(0+1)=1; cosφ = a/r = 0; sinφ = b/r = 1. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=π/2.
⇔ r=1; φ=π/2.
Таким образом, arg(z) = π/2+2πk, где k - произвольное целое число.
Ответ: π/2+2πk, k∈Z.

Пример 2.
Найти аргументы комплексного числа -1+i.
Решение.
a+bi = -1+i ⇔ a=-1; b=1 ⇔ r=√(1+1)=√2; cosφ = a/r = -1/√2; sinφ = b/r = 1/√2 ⇔ r=√2; φ=3π/4.
Таким образом, arg(z) = 3π/4+2πk, где k - произвольное целое число.
Ответ: 3π/4+2πk, k∈Z.

Пример 3.
Найти аргументы комплексного числа -1-√3i.
Решение.
a+bi = -1-√3i ⇔ a=-1; b=-√3 ⇔ r=√(1+3)=2; cosφ = a/r = -1/2; sinφ = b/r = -√3/2 ⇔ r=2; φ=-2π/3.
Таким образом, arg(z) = -2π/3+2πk, где k - произвольное целое число.
Ответ: -2π/3+2πk, k∈Z.

Аргументы комплексного числа можно найти и другим способом. Из рисунка следует, что каждый из аргументов удовлетворяет уравнению:

tgφ=b/a.

Это уравнение имеет больше решений, чем система уравнений, которую мы использовали ранее. Но отбор нужных решений не представляет трудностей, так как из алгебраической формы записи комплексного числа сразу понятно, в каком квадранте комплексной плоскости число расположено.
Пример 4.
Найти аргументы комплексного числа -√3+i.
Решение.
a+bi = -√3+i ⇔ a=-√3; b=1 => tgφ = b/a = -1/√3 => φ=-π/6.
Но так как число z=-√3+i расположено во втором квадранте комплексной плоскости, то его аргументами будут числа φ=5π/6+2πk, k∈Z.
Ответ: 5π/6+2πk, k∈Z.