Числовые множества и комплексные числа

Числовые множества

Числа, получающиеся при счете предметов, называются натуральными. Числовое множество натуральных чисел обозначается буквой N, N = {1,2,3,...}. Если к множеству N добавить число 0 и целые отрицательные числа, получим множество целых чисел. Оно обозначается Z, Z =  Множество рациональных чисел обозначается буквой Q, Q = {m/n, m∈Z, n∈N}. Рациональное число всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Кроме рациональных чисел существуют числа, которые можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, напимер, √2 = 1.41421..., π = 3.14159... . Такие числа называются иррациональными. Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел. Оно обозначается буквой R. Множества N, Z, Q являются подмножествами множества действительных чисел R.

Kомплексные числа

Не каждое квадратное уравнение имеет решения в области действительных чисел, например, x² + 1 = 0. Можно расширить множество действительных чисел так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение. Таким множеством является множество комплексных чисел. Оно обозначается буквой C, а комплексные числа - это выражения вида z = a + bi, где a и b вещественные числа, i = √-1 - мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = √-1. Число a называется действительной (вещественной) частью числа z (a=Re(Z)), а b - мнимой частью (b=Im(z)). Если b=0, то z - действительное число. Если a=0, то z называется чисто мнимым числом. Для мнимой единицы справедливы равенства

i²= -1;   i³=i²i=-i;   i⁴=i²i²=1;   i⁵=i⁴i=i; ...

Понятия "больше", "меньше" для комплексных чисел не существует. Но можно говорить о равенстве или неравенстве двух комплексных чисел. Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Запись вида z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Противоположным числом для числа z = a + bi является число z = -a - bi.
Комплексно сопряженным числом для числа z = a + bi называется число Для изображения всех действительных чисел служит числовая прямая. Комплексные числа z = a + bi изображаютя точками на плоскости с координатами (a,b) в выбранной системе координат. Эту плоскость называют комплексной. Ось X - это ось действительных чисел, на ней расположены числа (a;0). Ось Y - ось мнимых чисел, на ней расположены числа (0;b). Любая точка (a,b) в этой системе координат соответствует комплексному числу z = a + bi и, наоборот, каждому комплексному числу z = a + bi соответствует точка (a;b) на комплексной плоскости.
Таким образом, комплексное число можно также рассматривать как упорядоченную пару действительных чисел (a;b)=a+bi.