Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

Для любых комплексных чисел z≠0 справедливо z⁰ = 1. Для комплексных чисел в тригонометрической форме формулы операций возведения в степень с натуральным показателем и извлечения корня очень просты и удобны в использовании. Поэтому для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, нужно сначала представить их в тригонометрической форме, затем произвести возведение в степень или извлечение корня и снова перейти к алгебраической форме записи.

Возведение комплексного числа в степень с натуральным показателем

Если формулу произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме обобщить на несколько сомножителей, то легко получить формулу возведения в степегнь с натуральным показателем:

(r(cosφ + i sinφ))ⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)).

Таким образом, чтобы возвести комплексное число в натуральную степень, надо его модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Примеры возведения комплексных чисел в степень с натуральным показателем

Пример 1.
Вычислить (-1-i)¹⁰.
Решение.
Сначала представим число z=-1-i в тригонометрической форме: z = a+bi = -1-i ⇔ a=-1; b=-1 => tgφ = b/a=1; φ=π/4. Но так как число z расположено в четвертом квадранте комплексной плоскости, φ=-3π/4. Таким образом,

z = -1-i = √2(cos(-3π/4)+i sin(-3π/4)).

В соответствии с правилом возведения в степень чисел, записанных в тригонометрической форме, имеем

z¹⁰ = (√2)¹⁰(cos(-30π/4)+i sin(-30π/4)) = 32(cos(-15π/2)+i sin(-15π/2)) = 32(0+i) = 32i.

Ответ: (-1-i)¹⁰ = 32i.

Пример 2.
Вычислить (1/(1+i))⁸.
Решение.
Представим число 1/(1+i) в тригонометрической форме. Для этого сначала представим числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме:
a+bi = 1 ⇔ a=1; b=0 ⇔ 1 = cos(0)+i sin(0).
a+bi = 1+i ⇔ a=1; b=1 => |1+i|=√2; tgφ = b/a=1; φ=π/4. Так как число 1+i расположено в первом квадранте комплексной плоскости, φ=π/4. Таким образом, 1+i = √2(cos(π/4)+i sin(π/4)).
В соответствии с правилом деления комплексных чисел, получаем:
1/(1+i) = 1/√2(cos(0-π/4)+i sin(0-π/4)) = 1/√2(cos(-π/4)+i sin(-π/4)).
Тогда
(1/(1+i))⁸ = (1/√2)⁸(cos(-8π/4)+i sin(-8π/4)) = (1/16)(cos(-2π)+i sin(-2π)) = 1/16.
Ответ: (1/(1+i))⁸ = 1/16.

Пример 3.
Вычислить (-√3/ 2 + 1/2 i)⁶.
Решение.
Представим число z=-√3/ 2 + 1/2 i в тригонометрической форме:
z = a+bi = -√3/ 2 + 1/2 i ⇔ a=-√3/ 2; b=1/2 ⇔ |z| = √ ¾ + ¼ =1; tgφ = b/a=-1/√3. Так как число z расположено во втором квадранте комплексной плоскости, φ=5π/6. Таким образом,
z = cos(5π/6) + i sin(5π/6).
Тогда
z⁶ = cos(5π)+i sin(5π) = -1.
Ответ: (-√3/ 2 + 1/2 i)⁶ = -1.

Пример 4.
Вычислить (i + √3)⁹.
Решение.
Представим число i + √3 в тригонометрической форме:
z = a+bi = √3 + i ⇔ a=√3; b=1 ⇔ |z| = √(3+1) = 2; tgφ = b/a=1/√3. Так как число z расположено в первом квадранте комплексной плоскости, φ=π/6. Таким образом,
z = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)).
Тогда
z⁹ = 2⁹(cos(9π/6)+i sin(9π/6)) = 2⁹(cos(3π/2)+i sin(3π/2)) = 512(-i) = -512 i.
Ответ: (i + √3)⁹ = -512 i.

Извлечение корня из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Корнем степени n∈N из комплексного числа z называется такое число w, n-ая степень которого равна z. Из определения следует, что каждое решение уравнеия wⁿ = z является корнем n-ой степени из z. На множестве комплексных чисел это уравнение имеет ровно n решений. Например, для квадратного корня из z=-1 имеем w₁=√(-1)=i и w₂=√(-1)=-i. И только для z=0 при любом натуральном n оно имеет единственное решение w=0.
Пусть z = r(cosφ+i sinφ), w = ρ(cosα+i sinα). Решим уравнение wⁿ = z и получим формулу для корня n-ой степени из комплексного числа.

wⁿ = z ⇔ (ρ(cosα+i sinα))ⁿ = r(cosφ+i sinφ) ⇔ρⁿ=r; α⋅n=φ+2πk, k∈Z.

Следовательно,

ρ = r^1/n;    α=(φ+2πk)/n, n=0,1,2,…n-1.

Тогда в тригонометрической форме все решения уравнения wⁿ = z могут быть записаны следующим образом:

w_k=r^1/n(cos(φ+2πk)/n )+i sin(φ+2πk)/n )), k∈Z.

Легко видеть, что для k=0,1,2,…n-1 мы будем получать различные значения w_k, для остальных значений k новых значений w уже не получится. Таким образом, если z≠0, то существует ровно n корней n-ой степени из z, и для них справедлива формула:

w_k = r^1/n(cos(φ+2πk)/n ) + i sin(φ+2πk)/n )),   k=0,1,2,…n-1.

Все корни степени n имеют одинаковый модуль, а аргументы корней w_k и w_k+1 отличаются на одно и тоже число 2π/n. Следовательно, точки комплексной плоскости, соответствующие всем корням w_k, k=0,1,2,…n-1, расположены на окружности радиуса r^1/n с центром (0;0) в вершинах правильного n-угольника.

Примеры извлечения корня из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Пример 5.
Найти все значения корня шестой степени из числа z = 1.
Решение.
Запишем число z в тригонометрической форме: z = 1 ⇔ a=1; b=0 => |z|=r=√1; tgφ = b/a = 0. Так как число z расположено в первом квадранте комплексной плоскости, φ=0. Таким образом, 1 = cos(0) + i sin(0).
По формуле извлечения корня шестой степени имеем:

1^1/6 = cos(2πk/6) + i sin(2πk/6),   k=0,1,2,3,4,5.

Cледовательно, для всех шести корней получаем
z₀ = cos(0) + i sin(0) = 1,
z₁ = cos(2π/6) + i sin(2π/6) = 1/2 + i√3/ 2,
z₂ = cos(4π/6) + i sin(4π/6) = -1/2 + i√3/ 2,
z₃ = cos(6π/6) + i sin(6π/6) = -1,
z₄ = cos(8π/6) + i sin(8π/6) = -1/2 - i√3/ 2,
z₅ = cos(10π/6) + i sin(10π/6) = 1/2 - i√3/ 2.
Ответ:{1, 1/2 + i√3/ 2, -1/2 + i√3/ 2, -1, -1/2 - i√3/ 2, 1/2 - i√3/ 2}

Пример 6.
Найти все значения кубического корня из числа z = -64.
Решение.
Запишем число z в тригонометрической форме: z = -64 ⇔ a=-64; b=0 => |z|=r=√64; tgφ = b/a = 0. Так как число z расположено в третьем квадранте комплексной плоскости, φ=π. Таким образом, -64 = cos(π) + i sin(π).
По формуле извлечения корня третьей степени имеем:

1^1/3 = cos(2πk/3) + i sin(2πk/3),   k=0,1,2.

Cледовательно, для всех трех корней получаем
z₀ = 4(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 4(1/2 + i√3/ 2) = 2 + i 2√3,
z₁ = 4(cos(3π/3) + i sin(3π/3)) = 4(-1) = -4,
z₂ = 4(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 4(1/2 - i√3/ 2) = 2 - i 2√3.
Ответ:{2+i 2√3, -4, 2-i 2√3}