Формула Кардано для решения кубических уравнений

В общем случае найти корни кубического уравнения в области комплексных чисел позволяет формула Кардано для кубического уравнения в канонической форме, названная так по имени итальянского математика Д. Кардано.
Кубическое уравнение общего вида ax³ + bx² + cx + d = 0, a ≠ 0, c помощью замены переменной , приводится к каноническому трехчленному виду y³ + py + q = 0,

где
Еще одна замена переменной y = t -  приводит трехчленное кубическое уравнение к виду

Умножив обе части уравнения на t³, получим
Последнее уравнение является квадратным уравнением относительно t³, его корни можно выписать в явном виде:
Отсюда
Следовательно, корни трехчленного кубического уравнения равны
Хотя выражения для y₁ и y₂ выглядят по-разному, но это одни и те же числа. Преобразуем их следующим образом. В выражении для y₁ домножим и числитель, и знаменатель дроби на t₂, а в выражении для y₂ числитель и знаменатель дроби на t₁. Получим



Аналогично, для y₂



Таким образом, y₁ = y₂ = t₁ + t₂, и формула Кардано для корней канонического кубического уравнения имеет вид:



Выражение называется дискриминантом кубического уравнения y³ + py + q = 0.

Как известно, корень n-ой степени из комплексного числа z,

z = r *(cosφ + isinφ)

имеет n комплексных значений

где

Следовательно, имеет три значения z₁, z₂, z₃, где
В формуле Кардано два кубических корня, и их значения нужно сочетать по следующему правилу: для каждого из трех значений первого кубического корня берется такое значение второго кубического корня, чтобы выполнялось соотношение z_i*z_j = -p/3. Следовательно, из 9 комбинаций кубических корней z₁, z₂, z₃ нам подойдут только 3. Пусть t₁ и t₂ пара подходящих значений кубических корней, т.е. t₁*t₂ = -p/3.
Обозначим
Так как t₁g₁*t₂g₂=t₁*t₂=-p/3 и t₁g₂*t₂g₁=t₁*t₂=-p/3, то две оставшиеся пары значений кубических корней будут t₁g₁, t₂g₂ и пара t₁g₂, t₂g₁.
Таким образом, получаем формулы Кардано для трех корней канонического кубического уравнения:

Чтобы избежать такого сочетания значений разных кубических корней, можно использовать формулу


или, что то же самое,

Каждому найденному по формуле Кардано значению y соответствует решение исходного уравнения x = y - .
Если p и q действительные числа, то в зависимости от значения дискриминанта Δ кубическое уравнение может иметь либо 3 действительных корня (Δ <0), либо 1 действительный корень и два комплексно сопряженных (Δ > 0), либо 2 действительных корня (Δ=0) - один из них простой, другой кратности 2, или один действительный корень кратности 3 (Δ=0, p=q=0). Рассмотрим все эти случаи.

1) Δ <0   =>   3 действительных корня:


Если опустить промежуточные вычисления, то окончательные формулы для трех действительных корней канонического уравнения можно представить в виде


Приведем еще одну форму записи корней канонического уравнения. Пусть где Тогда формулы для трех действительных корней канонического уравнения можно представить в виде:
Запишем формулы для корней исходного уравнения:
x₁ = y₁ - ,   x₂ = y₂ - ,   x₃ = y₃ - .   

2 ) Δ > 0   =>   1 действительный корень и два комплексно сопряженных:


Формулы для корней исходного уравнения такие же, как в предыдущем случае

x₁ = y₁ - ,   x₂ = y₂ - ,   x₃ = y₃ - .   

3 ) Δ=0   =>   2 действительных корня (один - простой, другой кратности 2):


Следовательно, x₁ = y₁ - ,   x₂ = y₂ - .   В этом случае исходное уравнение имеет один простой корень (x₁), а другой кратности 2 (x₂=x₃).

Если Δ=0 и p=q=0, то у канонического уравнения только один кратный корень y₁=0. Соответственно, исходное уравнение будет иметь единственный кратности 3 корень x = -.
Если кубическое уравнение имеет целый или рациональный корень, то, конечно, проще всего найти этот корень подбором, затем делением свести исходное уравнение к квадратному. Если же рациональных корней нет, то только формула Кардано может помочь найти решение.
Практическое использование формулы Кардано для решения кубических уравнений крайне затруднительно из-за громоздких вычислений. Но в особых случаях, это сделать довольно просто, например, для первого случая (Δ < 0) при q = 0 для нахождения трех действительных корней, или для третьего случая (Δ = 0). Для второго случая, когда Δ > 0 , формулы для корней кубического уравнения можно выписать всегда. Таким образом, применение формулы Кардано оправдано, если уравнение не имеет рациональных корней.
Рассмотрим применение формулы Кардано для решения кубических уравнений на примерах.

Примеры применения формулы Кардано для решения кубических уравнений

Пример 1.
Решить уравнение x³ + 6x² + 3x - 10 = 0.
Решение.
Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень x = 1. Делением на x - 1 левой части уравнения по схеме Горнера получаем


Следовательно, x² + 7x + 10 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем


А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения a = 1, b = 6, c =3, d = -10. Замена переменной x = y - b/(3a) = y - 6/3 = y - 2 приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где


Вычислим дискриминант этого уравнения


Так как Δ <0   =>   каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку q = 0   =>   φ =    =>   

Тогда для корней исходного уравнения получаем:
x₁ = y₁ - 2 = 3 - 2 = 1,
x₂ = y₂ - 2 = -3 - 2 = -5,
x₃ = y₃ - 2 = 0 - 2 = -2.
Ответ: -5, -2, 1.

Пример 2.
Решить уравнение x³ + 3x² + 4x + 2 = 0.
Решение.
Для данного уравнения a = 1, b = 3, c =4, d = 2. Замена переменной x = y - 
приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где


Вычислим дискриминант этого уравнения


Так как Δ >0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:


Тогда для корней исходного уравнения получаем:
x₁ = y₁ - 1 = 0 - 2 = -1,
x₂ = y₂ - 1 = i - 1 = i - 1,
x₃ = y₃ - 1 = -i - 1 = -i - 1.
Ответ: -1, -1-i, -1+i.

Пример 3.
Решить уравнение x³ + 12x² + 36x + 32 = 0.
Решение.
Для данного уравнения a = 1, b = 12, c =36, d = 32. Замена переменной x = y - 
приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где


Вычислим дискриминант этого уравнения


Так как Δ = 0   =>   уравнение имеет 2 действительных корня:


Тогда для корней исходного уравнения получаем:
x₁ = y₁ - 4 = -4 - 4 = -8,
x₂ = y₂ - 4 = 2 - 4 = -2.
Ответ: -8, -2.

Пример 4.
Решить уравнение x³ + 9x² + 9x - 137 = 0.
Решение.
Для данного уравнения a = 1, b = 9, c =9, d = -137. Замена переменной x = y - 
приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где


Вычислим дискриминант этого уравнения


Так как Δ >0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:


Тогда для корней исходного уравнения получаем:


Ответ:

Пример 5.
Решить уравнение x³ + 18x² + 90x + 50 = 0.
Решение.
Для данного уравнения a = 1, b = 18, c =90, d = 50. Замена переменной x = y - 
приводит исходное уравнение к виду y³ + py + q = 0, где


Вычислим дискриминант этого уравнения


Так как Δ > 0   =>   каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:


Тогда для корней исходного уравнения получаем:


Ответ:

Так как запомнить промежуточные формулы для нахождения корней кубического уравнения с помощью формулы Кардано довольно сложно, то можно просто повторить вывод формулы Кардано для следующего уравнения. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 6.
Найти действительные корни уравнения x³ + 12x² + 3x + 4 = 0.
Решение.
Для данного уравнения a = 1, b = 12, c = 3, d = 4. Сделаем замену переменной x = y - :
(y - 4)³ + 12(y - 4)² + 3(y - 4) + 4 = 0   <=>   
   <=>   y³ - 12y² + 48y - 64 + 12y² - 96y + 192 + 3y - 8 = 0   <=>   
   <=>   y³ - 45y + 120 = 0.
Следовательно, p = -45, q = 120, Δ = (60)² - (15)³ = 225 >0. Значит, исходное уравнение имеет один действительный корень.
Теперь сделаем следующую замену переменной y = t - . Получим


Это уравнение домножим на t³ и получим квадратное уравнение относительно t³: t⁶ + 120t³ + 3375 = 0.
Следовательно,
Тогда Теперь можно найти y по формуле y = t + .
Вместо t можно подставить или или результат будет один и тот же:

Или

Таким образом, действительный корень исходного уравнения равен
Ответ:

Рассмотрим два прмера применения формулы Кардано, когда кубическое уравнение имеет рациональгный корень, но этот корень трудно увидеть в числе, полученном по формуле Кардано.

Пример 7.
Решить уравнение y³ - 9y + 8 = 0.
Решение.
Для данного уравнения p = -9, q = 8, Δ = (4)² + (-3)³ = -11 <0. Следовательно, исходное уравнение имеет 3 действительных корня. Простым подбором легко найти корень, равный 1. Посмотрим, что в этом случае дает нам формула Кардано:


Увидеть в этом числе 1 практически невозможно, если не знать, что
Тогда для трех действительных корней уравнения имеем
Ответ:

Пример 8.
Решить уравнение y³ + 3y - 4 = 0.
Решение.
Для данного уравнения p = 3, q = -4, Δ = (-2)² + (1)³ = 5 >0. Следовательно, исходное уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных. В этом примере, как и в предыдущем, среди корней есть корень 1. Формула Кардано дает число:


Здесь тоже надо знать, что
Тогда для трех корней уравнения имеем
Ответ: