Решение комбинированных уравнений и неравенств

Метод решения комбинированных уравнений и неравенств, основанный на анализе областей значений их левых и правых частей (10 – 11 класс).

Рассмотрим способ решения нестандартных уравнений и неравенств, при котором сравниваются области значений двух функций, представляющих левую и правую части уравнения или неравенства. Суть метода в том, что область значений одной функции имеет только одну общую точку с областью значений второй функции. Следовательно, исходное уравнение или неравенство имеет решение только в том случае, когда левая и правая части уравнения равны этому значению.

Пример 1.

cos(x) = x² -2x + 2.

Решение уравнения.

1) Левая часть уравнения f₁(x) = cos(x). Область значений функции E(f₁) = [-1; 1].
2) Правая часть уравнения f₂(x) = x² -2x + 2 представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины:



Следовательно,

3) Решение уравнения возможно только, если



Но для любых . Следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример 2.


Решение уравнения.

ОДЗ: .
С помощью элементарных преобразований приведем уравнение к виду:



1)

2) .

3) .

Ответ: x = 0.

Пример 3.

.

Решение неравенства.

1)

2) .

3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

.

Но 2^x > 0 для любого значения x. Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

.

Решение неравенства.

Проведенный в примере 3 анализ областей значений левой и правой частей позволяет сделать вывод, что неравенство справедливо для любого значения x.

Ответ: x – любое число.

Пример 5.

.

Решение неравенства.

Исходное неравенство эквивалентно

.

1)

2)

3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

.

Во втором уравнении системы при k = -1 x = -8/5. Следовательно, x = -8/5 является решением исходного неравенства.

Ответ: x = -1.6