Решение комбинированных уравнений и неравенств

Метод решения комбинированных уравнений и неравенств, основанный на анализе областей значений их левых и правых частей.

Рассмотрим способ решения нестандартных уравнений и неравенств, при котором сравниваются области значений двух функций, представляющих левую и правую части уравнения или неравенства. Суть метода в том, что область значений одной функции имеет только одну общую точку с областью значений второй функции. Следовательно, исходное уравнение или неравенство имеет решение только в том случае, когда левая и правая части уравнения равны этому значению.

Примеры решений комбинированных уравнений и неравенств.

Пример 1.
Решить уравнение cos(x) = x² -2x + 2.
Решение.
1) Левая часть уравнения f₁(x) = cos(x). Область значений функции E(f₁) = [-1; 1].
2) Правая часть уравнения f₂(x) = x² -2x + 2 представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины:

Следовательно,
3) Решение уравнения возможно только, если

Но для любых Следовательно, корней нет.
Ответ: корней нет.

Пример 2.
Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
С помощью элементарных преобразований приведем уравнение к виду:

1)
2)
3)
Ответ: x = 0.

Пример 3.
Решить неравенство Решение.
1)
2)
3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

Но 2^x > 0 для любого значения x. Следовательно, исходное неравенство не имеет решения.
Ответ: корней нет.

Пример 4.
Решить неравенство Решение.
Проведенный в примере 3 анализ областей значений левой и правой частей позволяет сделать вывод, что неравенство справедливо для любого значения x.
Ответ: x – любое число.

Пример 5.
Решить неравенство
Решение.
Исходное неравенство эквивалентно

1)
2)
3) Следовательно, исходное неравенство эквивалентно системе уравнений

Во втором уравнении системы x = -8/5 при k = -1. Следовательно, x = -8/5 является решением исходного неравенства.
Ответ: x = -8/5.