Уравнения с одной переменной

Уравнение вида
f(x)=g(x),       (1)
где f(x), g(x) – некоторые функции, называется уравнением с одной переменной.

Функция f(x) - называется левой частью уравнения, а g(x) - правой.

Множество значений переменной x, при подстановке которых в уравнение (1) обе части уравнения определены и их числовые значения совпадают, называется решением уравнения, а каждое значение x из этого множества называется корнем уравнения. Таким образом, решить уравнение (1) – значит найти множество всех его корней или доказать, что их не существует.
Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Download for Windows PCs
Android app on Google Play
В зависимости от вида функций f(x) и g(x) уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные.

К алгебраическим функциям относятся функции, для вычисления значений которых при заданном значении x используются только арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и операции возведения в степень (в том числе и с рациональным показателем).

Трансцендентные уравнения - это уравнения, содержащие тригонометрические, показательные или логарифмические функции.

Равносильные уравнения

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множество корней одного уравнения совпадает с множеством корней другого или если оба уравнения корней не имеют.

Например, уравнения 3x - 1 = 2 и 5x = 5 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень x = 1, а уравнения x2 = -4 и
5/x
= 0
равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Для обозначения равносильности уравнений служит знак <=>. Множество значений переменной, для каждого из которых определены все функции, входящие в уравнение, называется областью допустимых значений переменной (О.Д.З.).

Процесс решения уравнения состоит в последовательном переходе от исходного уравнения к цепочке равносильных уравнений более простого вида, чем исходное.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Сформулируем несколько утверждений, которые обеспечивают равносильность преобразований уравнения (1):

- если функция φ(x) определена для всех x, для которых определены f(x) и g(x),
то f(x) = g(x) <=> f(x) + φ(x) = g(x) + φx);

- если функция φ(x) определена для всех x, для которых определены f(x) и g(x), и φ(x) ≠ 0,
то f(x) = g(x) <=> f(x)*φ(x)=g(x)*φ(x) и f(x) = g(x)<=>f(x)/φ(x)=g(x)/φ(x);

- если обе части уравнения (1) возвести в одну и ту же нечетную степень,
то получится уравнение, равносильное исходному: f(x) = g(x) <=> (f(x))2n + 1 = (g(x))2n + 1.

Недопустимы преобразования, которые приводят к потере корней. Если же в результате преобразований могут появиться посторонние корни, то необходимо выполнить проверку всех корней уравнения с помощью непосредственной их подстановки в исходное уравнение.

RNG - Random Number Generator app
Copyright © 2022 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены