Уравнения с одной переменной

Уравнения с одной переменной, корни уравнений

Уравнение вида f(x)=g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции, называется уравнением с одной переменной.
Функция f(x) - называется левой частью уравнения, а g(x) - правой.
Множество значений переменной x, при подстановке которых в уравнение обе части уравнения определены и их числовые значения совпадают, называется решением уравнения, а каждое значение x из этого множества называется корнем уравнения. Таким образом, решить уравнение – значит найти множество всех его корней или доказать, что их не существует. В зависимости от вида функций f(x) и g(x) уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные.
К алгебраическим функциям относятся функции, для вычисления значений которых при заданном значении x используются только арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и операции возведения в степень (в том числе и с рациональным показателем).
Трансцендентные уравнения - это уравнения, содержащие тригонометрические, показательные или логарифмические функции.

Равносильные уравнения

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множество корней одного уравнения совпадает с множеством корней другого или если оба уравнения корней не имеют.
Например, уравнения 3x - 1 = 2 и 5x = 5 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень x = 1, а уравнения x² = -4 и равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
Для обозначения равносильности уравнений служит знак <=>. Множество значений переменной, для каждого из которых определены все функции, входящие в уравнение, называется областью допустимых значений переменной (О.Д.З.).
Процесс решения уравнения состоит в последовательном переходе от исходного уравнения к цепочке равносильных уравнений более простого вида, чем исходное.

Сформулируем несколько утверждений, которые обеспечивают равносильность преобразований уравнения:

- если функция φ(x) определена для всех x, для которых определены f(x) и g(x),
то f(x) = g(x) <=> f(x) + φ(x) = g(x) + φx);

- если функция φ(x) определена для всех x, для которых определены f(x) и g(x), и φ(x) ≠ 0,
то f(x) = g(x) <=> f(x)*φ(x)=g(x)*φ(x) и f(x) = g(x)<=>f(x)/φ(x)=g(x)/φ(x);

- если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень,
то получится уравнение, равносильное исходному: f(x) = g(x) <=> (f(x))^2n + 1 = (g(x))^2n + 1.

Недопустимы преобразования, которые приводят к потере корней. Если же в результате преобразований могут появиться посторонние корни, то необходимо выполнить проверку всех корней уравнения с помощью непосредственной их подстановки в исходное уравнение.