Линейные уравнения с одной переменной

Уравнение вида ax = b, где x - переменная, а a и b - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если коэффициент a ≠ 0, то решение этого уравнения единственно и равно x =
b/a
.
Если же a = 0, а b ≠ 0, то уравнение корней не имеет, так как 0*x ≠ b ни при каком b ≠ 0.

Осталось рассмотреть случай a = 0 и b = 0. В этом случае любое значение x будет корнем уравнения, так как равенство 0*x = 0 верно для любого значения x.

Таким образом, линейное уравнение ax = b имеет единственный корень при a ≠ 0, вообще не имеет корней при a = 0 и b ≠ 0, и имеет бесконечное число корней при a = 0 и b = 0.

Примеры решения линейных уравнений с одной переменной.

Пример 1. Решить уравнение x = -x.

Решение.

x = -x   <=>   x + x=0   <=>   2x=0   <=>   x=0/2   <=>   x=0.

Ответ: x = 0.

Пример 2. Решить уравнение 3(2.5 - 2x) = 5 - 6x.

Решение.

3(2.5 - 2x) = 5 - 6x   <=>   7.5 - 6x = 5 - 6x   <=>   -6x + 6x = 5 - 7.5   <=>   0*x = -2.5.

Но 0 ≠ -2.5 ни при каком x. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение 8x = 6 + 2(4x - 3).

Решение.

8x = 6 + 2(4x - 3)x   <=>   8x = 6 + 8x - 6   <=>   8x - 8x = 6 - 6   <=>   0*x = 0. Мы получили тождество, верное для любых значений x. Следовательно, корнем уравнения является любое число.

Ответ: x - любое число.

Пример 4. Решить уравнение 3x - (10 + 5x) = 54.

Решение.

3x - (10 + 5x) = 54   <=>   3x - 10 - 5x = 54   <=>   -2x = 54 + 10   <=>   -2x = 64   <=>   x = -32.

Ответ: x = -32.

Пример 5. Решить уравнение 6x - (x - 1) = 4 + 5x.

Решение.

6x - (x - 1) = 4 + 5x   <=>   6x - x + 1 = 4 + 5x   <=>   5x - 5x = 4 - 1   <=>   0 = 3.

Но 0 ≠ 3 ни при каком x. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.