Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax⁴ + bx² + с = 0, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется биквадратным. Для его решения нужно использовать способ замены переменной. Введем новую переменную t = x². Тогда x⁴ = t² и исходное уравнение будет равносильно квадратному уравнению: at² + bt + с = 0. Значения корней квадратного уравнения мы уже умеем находить. По известным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения.
Если t < 0, то уравнение x² = t корней не имеет.

Если то Таким образом, решение биквадратного уравнения сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Пример 1.
Решить уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
x⁴ - 17x² + 16 = 0 <=> t² - 17t + 16 = 0
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,
D = b² - 4ac = (-17)² - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.
Ответ: -4, -1, 1, 4.

Пример 2.
Решить уравнение 9x⁴ + 32x² - 16 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
9x⁴ + 32x² - 16 = 0 <=> 9t² + 32t - 16 = 0
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.
Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2 = 16), вычислим дискриминант D₁:
Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.


По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x² = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = .
Ответ: -2/3, 2/3.

Пример 3.
Решить уравнение x⁴ + 3x² - 10 = 0.
Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:
x⁴ + 3x² - 10 = 0 <=> t² + 3t - 10 = 0
Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,
D = b² - 4ac = 3² - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x² = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня .
Ответ: -√2, √2.