Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется биквадратным.

Для его решения нужно использовать способ замены переменной. Введем новую переменную t = x2. Тогда x4 = t2 и исходное уравнение будет равносильно квадратному уравнению: at2 + bt + с = 0.
Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Android app on Google Play
Значения корней квадратного уравнения мы уже умеем находить. По известным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения.

Если t < 0, то уравнение x2 = t корней не имеет.

Если Нахождение корней биквадратного уравнение, то Нахождение корней биквадратного уравнение.

Таким образом, решение биквадратного уравнения сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 1. Решить уравнение x4 - 17x2 + 16 = 0.

Решение.

Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 - 17x2 + 16 = 0 <=> t2 - 17t + 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4-17x^2+16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решение биквадратного уравнения x^4-17x^2+16=0

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 2. Решить уравнение 9x4 + 32x2 - 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x4 + 32x2 - 16 = 0 <=> 9t2 + 32t - 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (
b/2
= 16), вычислим дискриминант D1:

дискриминант квадратного трехчлена. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x =
±
2/3
.

Ответ:
±
2/3
.

Пример 3. Решить уравнение x4 + 3x2 - 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 + 3x2 - 10 = 0 <=> t2 + 3t - 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b2 - 4ac = 32 - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0.

Ответ: Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0.

Business Contact Book - Premium Contact Manager
Copyright © 2022 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены