Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Уравнение 3 степени a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, a3 ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.
Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Android app on Google Play
Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

Разложение на множители многочлена третьей степени

В свою очередь многочлен второй степени a3x2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x3 - 3x2 - 4x + 6 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1)*(a3x2 + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a3x2 + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x - 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, x3 - 3x2 - 4x + 6 = (x - 1)(x2 - 2x - 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 1) (x2 - 2x - 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x2 - 2x - 6 = 0.

Решение кубического уравнения методом разложения на множители

Ответ: -1- √7, 1 ,-1+√7.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 2. Решить уравнение -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,
±
1/2
, ±
3/2
, ±
9/2
.

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, -2x3 + 3x2 - 4x - 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x - 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x2 + 5x - 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x2 + 5x - 9 = 0, получаем, что его дискриминант < 0, следовательно, действительных корней у него нет.

Ответ: -1.

Пример 3. Решить уравнение 2x3 - x2 - 8x + 4 = 0.

Решение.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x - 2.

Решение кубических уравнений методом разложения на множители - схема Горнера

Таким образом, 2x3 - x2 - 8x + 4 = (x - 2)(2x2 + 3x - 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x - 2) (2x2 + 3x - 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x2 + 3x - 2 = 0, получаем,

Решение квадратного уравнения

Ответ: -2,
1/2
, 2.

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a3x3 + x2(b - a3x0) + x*(c - bx0) - cx0.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a3,b,c и x0. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x3 + 2x2 - 5x - 6 = 0.

Решение.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a3x3 + x2(b - a3x0) + x*(c - bx0) - cx0, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Выразим из первого уравнения x0 = b - 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Если b=4, то c=3, x0 = 2. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x - 2)(x2 - 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x0 = -1. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6 = (x + 1)(x2 + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2).

Если b = -1, то c = -2, x0 = -3. Следовательно, x3 + 2x2 - 5x - 6=(x + 3)(x2 - x - 2) = (x + 3)(x - 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x - 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Ответ: -3, -1, 2.

Пример 5. Решить уравнение 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Выразим из первого уравнения x0 = 
(b - 1)/2
и подставим в два оставшихся. Получим

Разложение на множители многочлена третьей степени

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Разложение на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Разложение на множители многочлена третьей степени

Если b=2, то c=-4, x0 = 
1/2
. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 
1/2
)(2x2 + 2x - 4) = 2(x - 
1/2
)(x - 1)(x + 2).

Если b = 3, то c = -2, x0 = 1. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1)(2x2 + 3x - 2)=2(x - 1)(x - 
1/2
)(x + 2).

Если b = -3, то c = 1, x0 = -2. Следовательно, 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x + 2)(2x2 - 3x + 1) = 2(x + 2)(x - 
1/2
)(x - 1).

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x - 
1/2
)(x - 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x = 
1/2
, x = 1.

Ответ: -2,
1/2
, 1.

RNG - Random Number Generator app
Copyright © 2022 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены