Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 - 3x = 0.

Решение.
Уравнение x2 - 3x = 0 неполное квадратное, поэтому будем решать его методом разложения на множители:
x2 - 3x = 0 <=> x(x-3)=0 <=>

x = 0, x = 0,
x - 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 2. Решить уравнение Решить уравнение.

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Решение уравнения

Умножим на 4 обе части уравнения:

x2 - 4 = 0 <=> x2 = 4 <=> x = ± 2.

Ответ: ± 2.

Пример 3. Решить квадратное уравнение x2 + 3x + 10 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 3, c = 10.

D = b2 - 4ac = 32 - 4*1*10 = 9 - 40 = -31 < 0, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 4. Решить квадратное уравнение x2 + 12x + 36 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

Так как b = 12 - четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (b/2)2 - ac = 62 - 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x2 + 12x + 36 = 0 <=> (x+6)2 = 0 <=> x = -6.

Ответ: -6.

Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (b/2)2 - ac = (-14)2 - 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 <=> (2x-7)2 = 0 <=> 2x = 7 <=> x = 7/2.

Ответ: 7/2.

Пример 6. Решить уравнение Решить уравнение.

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:
Решение уравнения

Умножив обе части уравнения на -4, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
x2 + 3x = 0 <=> x(x+3) = 0

x = 0, x = 0,
x - 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 7. Решить уравнение Решить уравнение.

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Решить уравнение

Получим 6x2 + 3x = 20x-10 <=> 6x2 + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x2 - 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить уравнение

Ответ: 5/6, 2.

Пример 8. Решить уравнение Решить уравнение.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 - ac = (√2)2 - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня. Решить уравнение

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 9. Решить уравнение Решить уравнение.

Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Решить уравнение

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 - ac = 32 - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить уравнение

Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

Пример 10. Решить уравнение x4 - 17x2 + 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 - 17x2 + 16 = 0 => t2 - 17t + 16 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить уравнение

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить уравнение

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 11. Решить уравнение 9x4 + 32x2 - 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x4 + 32x2 - 16 = 0 => 9t2 + 32t - 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 - ac = 162 - 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня. Решить уравнение

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить уравнение

Первое уравнение x2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

Ответ: ±2/3.

Пример 12. Решить уравнение x4 + 3x2 - 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x2 => x4 = t2, перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x4 + 3x2 - 10 = 0 => t2 + 3t - 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b2 - 4ac = 32 - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить уравнение

По найденным значениям t, решая уравнения x2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить уравнение

Первое уравнение x2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.

Ответ: ±√2.

Unit Converter and Calculator