Примеры решения квадратных и биквадратных уравнений

Пример 4. Решить квадратное уравнение x² + 12x + 36 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.

Так как b = 12 - четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

D₁ = (b/2)² - ac = 6² - 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = (-6)/1 = -6.

Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x² + 12x + 36 = 0 <=> (x+6)² = 0 <=> x = -6.

Ответ: -6.

Пример 5. Решить квадратное уравнение 4x² -28x + 49 = 0.

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D₁ :

D₁ = (b/2)² - ac = (-14)² - 4*49 = 196-196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень x = (-b/2)/a = 14/4 = 7/2.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x² -28x + 49 = 0 <=> (2x-7)² = 0 <=> 2x = 7 <=> x = 7/2.

Ответ: 7/2.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:


Умножив обе части уравнения на -4, получим x² + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
x² + 3x = 0 <=> x(x+3) = 0

x = 0, x = 0,
x - 3 = 0 x = 3.

Ответ: 0, 3.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:



Получим 6x² + 3x = 20x-10 <=> 6x² + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x² - 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b² - 4ac = (-17)² - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.



Ответ: 5/6, 2.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² - ac = (√2)² - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:



Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2=3), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² - ac = 3² - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.



Ответ: (3-√3)/3, (3+√3)/3.

Пример 10. Решить уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ - 17x² + 16 = 0 => t² - 17t + 16 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b² - 4ac = (-17)² - 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.



По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: -4, -1, 1, 4.

Пример 11. Решить уравнение 9x⁴ + 32x² - 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x⁴ + 32x² - 16 = 0 => 9t² + 32t - 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (b/2=16), вычислим дискриминант D₁:

D₁ = (b/2)² - ac = 16² - 9*(-16) = 400 >0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Первое уравнение x² = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x= ±2/3.

Ответ: -2/3, 2/3.

Пример 12. Решить уравнение x⁴ + 3x² - 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ + 3x² - 10 = 0 => t² + 3t - 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b² - 4ac = 3² - 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.



По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:



Первое уравнение x² = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x = ±√2.

Ответ: -√2, √2.