Решение полных квадратных уравнений

Чтобы получить формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения, преобразуем его:

Выражение b² - 4ac обычно обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного трехчлена ax² + bx + с = 0.
С учетом этого обозначения продолжим решение квадратного уравнения


Последнее уравнение, а значит, и исходное может иметь два действительных корня, один корень или вообще не иметь действительных корней в зависимости от знака дискриминанта D:
1. Если D = b² - 4ac < 0 , то квадратное уравнение ax² + bx + с = 0 не имеет действительных корней.
2. Если D = b² - 4ac = 0, то квадратное уравнение ax² + bx + с = 0 имеет единственный действительный корень x = :

3. Если D = b² - 4ac > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + с = 0 имеет два действительных корня, которые вычисляются по формулам

Покажем, как вывести эти формулы:


Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

Здесь k = b/2. Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

или где D₁ = ()² - ac.
Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1.
Решить квадратное уравнение 4x² -28x + 49 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.
Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D₁ :
D₁ = ()² - ac = (-14)² - 4*49 = 196 - 196 = 0.
Cледовательно, уравнение имеет единственный корень x = (b/2)/2 = 14/2 = 7. Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
4x² -28x + 49 = 0 <=> (2x - 7)² = 0 <=> 2x = 7 <=> x = 7/2.
Ответ: 7/2.

Пример 2.
Решить уравнение Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:


Умножив обе части уравнения на -6, получим x² + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
Ответ: -3, 0.

Пример 3.
Решить уравнение Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:


Умножив обе части уравнения на 15, получим:
6x² + 3x = 20x-10 <=> 6x² + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x² - 17x + 10 = 0.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10.
D = b² - 4ac = (-17)² - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

Ответ: 5/6, 2.

Пример 4.
Решить уравнение
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.
Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (b/2 = √2), вычислим дискриминант D₁:
D₁ = ()² - ac = (√2)² - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 5.
Решить квадратное уравнение
Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:


Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.
Так как b = -6, то есть b делится на 2 (b/2 = -3), вычислим дискриминант D₁:
D₁ = (b/2)² - ac = 3² - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.


Ответ: