Решение полных квадратных уравнений

Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Android app on Google Play
Чтобы получить формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения, преобразуем его:

Решение полных квадратных уравнений

Выражение b2 - 4ac обычно обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + с = 0.

С учетом этого обозначения продолжим решение квадратного уравнения

Решение полных квадратных уравнений

Последнее уравнение, а значит, и исходное может иметь два корня, один корень или вообще не иметь корней в зависимости от знака дискриминанта D:

1. Если D = b2 - 4ac < 0 , то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 не имеет действительных корней.

2. Если D = b2 - 4ac = 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет единственный действительный корень x =
-
b/2a
:

корнь квадратного уравнения, если дискриминанта равен нулю

3. Если D = b2 - 4ac > 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет два действительных корня, которые вычисляются по формулам

корнь квадратного уравнения, если дискриминанта больше нуля

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Покажем, как вывести эти формулы:

вывод формул для нахождения корней квадратного уравнения

Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

корни квадратного уравнения если b четное,
где k =
b/2
.

Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

корни квадратного уравнения или корни квадратного уравнения, где D1 = (
b/2
)2 - ac.

Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (
b/2
)2 - ac = (-14)2 - 4*49 = 196 - 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x =
b/2
/2
=
14/4
=
7/2
.

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 <=> (2x - 7)2 = 0 <=> 2x = 7 <=> x =
7/2
.

Ответ:
7/2
.

Пример 2. Решить уравнение Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0.

Решение.

Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0

Умножив обе части уравнения на -6, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0.

Ответ: -3,0.

Пример 3. Решить уравнение Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3.

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3.

Умножив обе части уравнения на 15, получим:

6x2 + 3x = 20x-10 <=> 6x2 + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x2 - 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 - 4ac = (-17)2 - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3

Ответ:
5/6
, 2.

Пример 4. Решить уравнение Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (
b/2
= √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (
b/2
)2 - ac = (√2)2 - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 5. Решить уравнение Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0.

Решение.

Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (
b/2
= 3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 - ac = 32 - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

Ответ: Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0

RNG - Random Number Generator app
Copyright © 2022 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены