Покажем, как вывести эти формулы:
![вывод формул для нахождения корней квадратного уравнения](/images/equations/quadratic-equation-roots-2.png)
Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если
b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид
![корни квадратного уравнения если b четное](/images/equations/quadratic-equation-roots-3.png)
,
где k =
.
Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:
![корни квадратного уравнения](/images/equations/quadratic-equation-roots-4.png)
или
![корни квадратного уравнения](/images/equations/quadratic-equation-roots-5.png)
, где D
1 = (
)
2 - ac.
Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.
Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x
2 -28x + 49 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.
Так как b = -28 - четное число, то вычислим дискриминант D
1 :
D
1 = (
)
2 - ac = (-14)
2 - 4*49 = 196 - 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x =
.
Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
4x
2 -28x + 49 = 0 <=> (2x - 7)
2 = 0 <=> 2x = 7 <=> x =
.
Ответ:
.
Пример 2. Решить уравнение
![Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex2.png)
.
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:
![Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex2-1.png)
Умножив обе части уравнения на -6, получим x
2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
![Решение квадратного уравнения (x^2-x)/6-(x^2+x)/3 =0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex2-2.png)
.
Ответ: -3,0.
Пример 3. Решить уравнение
![Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex3.png)
.
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:
![Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex3-1.png)
.
Умножив обе части уравнения на 15, получим:
6x
2 + 3x = 20x-10 <=> 6x
2 + 3x - 20x + 10 = 0 <=> 6x
2 - 17x + 10 = 0.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b
2 - 4ac = (-17)
2 - 4*6*10 = 289 - 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
![Решение квадратного уравнения 2x^2+x)/5=(4x-2)/3](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex3-2.png)
Ответ:
, 2.
Пример 4. Решить уравнение
![Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex4.png)
.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.
Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (
= √2), вычислим дискриминант D
1:
D
1 = (
)
2 - ac = (√2)
2 - 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
![Решение квадратного уравнения x^2+2√2x+1=0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex4-2.png)
Ответ: -√2-1, -√2+1.
Пример 5. Решить уравнение
![Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex5.png)
.
Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:
![Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex5-1.png)
Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.
Так как b = -6, то есть b делится на 2 (
= 3), вычислим дискриминант D
1:
D
1 = (b/2)
2 - ac = 3
2 - 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
![Решение квадратного уравнения 1/2x^2-x+1/3=0](/images/equations/solving-quadratic-equations-ex5-2.png)
Ответ: