Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Таким образом, решением исходного уравнения всегда является число -1, а оставшиеся корни являются корнями квадратного уравнения ax
2 + (b - a)x + a = 0.
Рассмотрим решение симметрических уравнений 3 степени на примерах.
Пример 1. Решить уравнение 2x
3 - 5x
2 - 5x + 2 = 0.
Решение.
Разложим на множители левую часть исходного уравнения:
2x
3 - 5x
2 - 5x + 2 = 2(x + 1)(x
2 - x + 1) - 5x(x + 1) = (x + 1)(2x
2 - 2x + 2 - 5x) = (x + 1)(2x
2 - 7x + 2).
Итак, исходное уравнение равносильно совокупности

Первое уравнение совокупности имеет корень -1, второe уравнение решаем по формулам корней квадратного уравнения:

Ответ:
Пример 2. Решить уравнение x
3 + 2x
2 + 2x + 1 = 0.
Решение. x
3 + 2x
2 + 2x + 1 = (x + 1)(x
2 - x + 1) + 2x(x + 1) = (x + 1)(x
2 - x + 1 + 2x) = (x + 1)(x
2 + x + 1).
Итак, исходное уравнение равносильно совокупности

Первое уравнение совокупности имеет корень -1, второe уравнение корней не имеет, так как дискриминант D = 1 - 4 = -3 < 0.
Ответ: -1.