Решение симметрических уравнений четвертой степени

Симметрические уравнения 4 степени имеют вид: ax⁴ + bx³ + сx² + bx + a = 0, a ≠ 0.
Чтобы решить симметрическое уравнение 4 степени, нужно действовать следующим образом.
Так как x=0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на x². Получим

ax² + bx + с+ b/x + a/x² = 0.

После группировки и вынесения общих множителей уравнение примет вид

a(x² + 1/x² )+ с + b(x + 1/x )= 0.

Сделаем замену переменной t = x + 1/x, тогда t² = x² + 2 + 1/x², следовательно, t² - 2 = x² + 1/x².
После подстановки новой переменной в уравнение получим квадратное уравнение относительно t

a(t² - 2) + bt +  с = 0 <=> at² + bt + с - 2a = 0

Осталось решить полученное квадратное уравнение и сделать обратную замену переменных.
Точно также можно решать уравнения вида ax⁴ + bx³ + сx² - bx + a = 0, a ≠ 0.
Рассмотрим решение симметрических уравнений 4 степени на примерах.

Примеры решения симметрических уравнений четвертой степени

Пример 1.
Решить уравнение 3x⁴ + 5x³ - 2x² + 5x + 3 = 0.
Решение.
После деления обеих частей уравнения на x², группировки соответствующих членов уравнения и вынесения общих множителей получаем

3x² + 5x - 2 + 5/x + 3/x² = 0 <=> 3(x² + 1/x²) + 5(x + 1/x) - 2 = 0

Сделаем замену переменной t = x + 1/x, тогда t² = x² + 2 + 1/x², следовательно, t² - 2 = x² + 1/x².
После подстановки новой переменной в уравнение получим квадратное уравнение относительно t:

3(t² - 2) + 5t - 2 = 0 <=> 3t² + 5t - 8= 0.

Находим его корни по известным формулам

t₁ = -8/3;     t₂ = 1.

Осталось сделать обратную подстановку и решить получившиеся уравнения:

x + 1/x = -8/3    или    x + 1/x = 1.

Домножив обе части этих уравнений на x, получим два квадратных уравнения

3x² + 8x + 3 = 0    или    x² - x + 1.

Находим их корни:

x_1,2 = (-4±√7)/3;    x_3,4 = (1±i√3)/2.

Ответ: (-4-√7)/3, (-4+√7)/3, (1-i√3)/2, (1+i√3)/2.

Пример 2.
Решить уравнение 2x⁴ - 5x³ - x² + 5x + 2 = 0.
Решение.
После деления обеих частей уравнения на x², группировки соответствующих членов уравнения и вынесения общих множителей получаем

2x² - 5x - 1 + 5/x + 2/x² = 0 <=> 2(x² + 1/x²) - 5(x - 1/x) - 1 = 0

Сделаем замену переменной t = x - 1/x, тогда t² = x² - 2 + 1/x², следовательно, t² + 2 = x² + 1/x².
После подстановки новой переменной в уравнение получим квадратное уравнение относительно t:

2(t² + 2) - 5t - 1 = 0 <=> 2t² - 5t + 3 = 0.

Находим его корни по известным формулам

t₁ = 3/2;     t₂ = 1.

Осталось сделать обратную подстановку и решить получившиеся уравнения:

x - 1/x = 1    или    x - 1/x = 3/2.

Домножив обе части этих уравнений на x, получим два квадратных уравнения

x² - x - 1 = 0    или    2x² - 3x - 2 = 0.

Находим их корни:

x_1,2 = (1±√5)/2;    x_3,4 = (-3±5)/4.

Ответ: -2, (1-√5)/2, 1/2, (1+√5)/2.