Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, если они существуют.
ТЕОРЕМА. Если x₁, x₂ - корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то сумма корней равна

-

b/a

, а произведение корней равно

c/a

:

Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0 теорему Виета можно сформулировать совсем просто: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену
x₁ + x₂ = - p,
x₁ * x₂ = q.

Доказательство этой теоремы следует непосредственно из формул для корней квадратного уравнения.
Справедлива и обратная теорема. Если числа x₁, x₂ таковы, что
x₁ + x₂ = - p,
x₁ * x₂ = q.

то эти числа – корни квадратного уравнения x² + px + q = 0.
С помощью этой теоремы можно легко решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими формулами для его корней. Кроме того, очень часто одним из корней уравнения является число x₁ = 1 или x₁ = -1, что легко проверяется простой подстановкой. Тогда второй корень можно быстро найти из равенства x₁* x₂ = , то есть x₂ =  или x₂ = -. Теорему Виета можно также использовать для проверки найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Пример 1.
Решить уравнение x² + 5x + 6 = 0.
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета
x₁ + x₂ = - 5,
x₁ * x₂ = 6.
Число 6 = 2*3 = 1*6, следовательно, легко подобрать решение этой системы x₁ = -2, x₂ = -3.
Ответ: -3, -2.

Пример 2.
Решить уравнение x² - 12x + 11 = 0.
Решение.
Очевидно, x₁ = 1 - является корнем квадратного уравнения. Но x₁* x₂ = 11, значит, второй корень равен 11.
Ответ: 1, 11.

Пример 3.
Решить уравнение 2013x² - 2012x - 1 = 0.
Решение.
Очевидно, x₁ = 1 - является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ = , значит, второй корень равен . Решение исходного уравнения по формулам нахождения корней квадратного уравнения было бы гораздо сложнее с вычислительной точки зрения.
Ответ: -1/2013, 1.

Пример 4.
Решить уравнение 5699x² + 5691x - 8 = 0.
Решение.
Очевидно, x₁ = -1 - является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x₁* x₂ = , значит, второй корень равен .
Ответ: -1, 8/5699.