Разложение на множители многочлена третьей степени

Таким образом, кубический многочлен всегда можно разложить на один линейный множитель и один квадратичный



В свою очередь многочлен второй степени a₃x² + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители:



Таким образом, зная один корень многочлена x₀, легко получить квадратичное выражение (a₃x² + bx + c) делением исходного многочлена на одночлен x-x₀. Приравнивая к нулю полученное выражение и решая квадратное уравнение, найдем остальные корни. А зная все корни многочлена, можно сразу написать его разложение на множители.

Пример 1. Разложить на множители многочлен x³ - 3x² - 4x + 6.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни многочлена нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем многочлена является число 1. Значит, исходный многочлен надо разделить на x - 1.

Воспользуемся схемой Горнера.



Таким образом, x³ - 3x² - 4x + 6 = (x - 1)(x² - 2x - 6). Чтобы найти оставшиеся 2 корня многочлена, решаем квадратное уравнение x² - 2x - 6 = 0.



Но обычно в разложении на множители нас не интересуют иррациональные корни (то есть, такое разложение квадратичного многочлена на множители



Ответ: x³ - 3x² - 4x + 6 = (x - 1)(x² - 2x - 6).

Пример 2. Разложить на множители многочлен -2x³ + 3x² - 4x - 9.

Решение.

Делители свободного члена: ±1, ±3, ±9. Делители старшего коэффициента: ±1, ±2.
Значит, корни исходного многочлена будем искать среди чисел: ±1, ±3, ±9, .

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x + 1.



Таким образом, -2x³ + 3x² - 4x - 9 = (x + 1)(-2x² + 5x - 9). Решая квадратное уравнение -2x² + 5x - 9 = 0, получаем, что его дискриминант < 0, следовательно, действительных корней у него нет.

Ответ: -2x³ + 3x² - 4x - 9 = (x + 1)(-2x² + 5x - 9).

Пример 3. Разложить на множители многочлен 2x³ - x² - 8x + 4.

Решение.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x - 2.



Таким образом, 2x³ - x² - 8x + 4 = (x - 2)(2x² + 3x - 2).
Решая квадратное уравнение 2x² + 3x - 2 = 0, получаем,



Следовательно, 2x² + 3x - 2 = 2(x - )(x + 2).

Ответ: 2x³ - x² - 8x + 4 = 2(x - 2)(x - )(x + 2) = (2x - 1)(x - 2)(x + 2).

Разложение на множители многочлена третьей степени методом неопределенных коэффициентов

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени - метод неопределенных коэффициентов. Он достаточно трудоемкий, но иногда бывает очень полезным, причем для разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x² + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x³ + x²(b - a₃x₀) + x*(c - bx₀) - cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Разложить на множители многочлен x³ + 2x² - 5x - 6.

Решение.

Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему уравнений



Выразим из первого уравнения x₀ = b - 2 и подставим в два оставшихся. Получим



Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.



Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:



Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6 = (x - 2)(x² - 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6 = (x + 1)(x² + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x³ + 2x² - 5x - 6=(x + 3)(x² - x - 2) = (x + 3)(x - 2)(x + 1).

Ответ: x³ + 2x² - 5x - 6 = (x - 2)(x + 1)(x + 3).