Разложение многочленов на множители

Выражение вида

P(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n

называется многочленом от x степени n с действительными коэффициентами, если коэффициенты a_i - действительные числа, и a₀ ≠ 0. Коэффициент a_n называется свободным членом многочлена.
Как известно, если комплексное число

z₁ = g + ih

корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число

z₂^* = g - ih

является корнем многочлена. Поэтому их произведение
представляет собой квадратичное выражение.
Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей

P(x)=a0(x-x1)k1*...*(x-xs)ks * (x2 + b1x + c1)r1 *...* (x2 + bpx + cp)rp,

где x₁, ..., x_s - действительные корни многочлена и То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на двучлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x-x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема.

Теорема. Если многочлен P(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n, a₀ ≠ 0, c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ = (причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a_n, а q – делитель старшего коэффициента a₀.
Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

Попробуем применить эту теорему для разложения многочлена на множители.

Примеры разложения многочленов на множители

Пример 1.
Разложить на множители многочлен 3x⁴ - 5x³ - 17x² + 13x + 6.
Решение.
Многочлен четвертой степени может иметь самое большее 4 разных корня. Попытаемся найти эти корни.
Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6.
Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.
Следовательно, рациональные корни многочлена можно искать среди чисел ±1, ±;2, ±3, ±6, .
Подставив в многочлен x = 1, убеждаемся, что x = 1 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x-1. Для этого воспользуемся схемой Горнера.



Итак, 3x⁴ - 5x³ - 17x² + 13x + 6=(x - 1)(3x³ - 2x² - 19x - 6).
Теперь надо разложить на множители многочлен 3x³ - 2x² - 19x - 6.
Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6.
Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.
То есть, его рациональные корни можно искать среди тех же чисел, что и корни исходного многочлена:
±1, ±;2, ±3, ±6, .
Подставив в многочлен x = -2, убеждаемся, что x = -2 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x + 2.
Воспользуемся схемой Горнера.


Следовательно, 3x³ - 2x² - 19x - 6 = (x + 2)(3x² - 8x - 3). Попробуем также понизить степень многочлена 3x² - 8x - 3, хотя можно просто решить квадратное уравнение.
Делители свободного члена: ±1, ±;2, ±3.
Делители старшего коэффициента: ±1, ±3.
То есть, его рациональные корни можно искать среди чисел ±1, ±;2, ±3, . Подстановкой проверяем, что подходят числа и 3. Все корни найдены, значит найдено и разложение на множители:
3x⁴ - 5x³ - 17x² + 13x + 6 = 3(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 1/3).
Ответ: 3x⁴ - 5x³ - 17x² + 13x + 6 = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(3x + 1).

Пример 2.
Разложить на множители многочлен x⁵ - 2x⁴ - 10x³ + 20x² + 9x - 18.
Решение.
Многочлен пятой степени может иметь самое большее 5 разных корней. Попытаемся найти эти корни. Так как делитель старшего коэффициента равен 1, рациональные корни многочлена можно искать среди делителей свободного члена: ±1, ±;2, ±3, ±6, ±9, ±18. Подставив в многочлен x = 1, убеждаемся, что x = 1 является корнем многочлена. Значит, исходный многочлен надо разделить на x-1. Снова воспользуемся схемой Горнера.



Итак, x⁵ - 2x⁴ - 10x³ + 20x² + 9x - 18 = (x - 1)(x⁴ - x³ - 11x² + 9x + 18). Аналогичным образом, рациональные корни многочлена x⁴ - x³ - 11x² + 9x + 18 можно искать среди тех же делителей свободного члена:±1, ±;2, ±3, ±6, ±9, ±18. Подставив в многочлен x=2, убеждаемся, что x=2 является корнем многочлена. Значит, этот многочлен надо разделить на x-2.



Таким образом, x⁴ - x³ - 11x² + 9x + 18 = (x - 2)(x³ + x² - 9x - 9). Корни многочлена x³ + x² - 9x - 9 можно искать среди делителей свободного члена 9:±1, ±3, ±9. Легко видеть, что x = 3 является корнем многочлена. Понизим степень этого многочлена, разделив его на x-3.



Следовательно, x³ + x² - 9x - 9 = (x - 3)(x² + 4x + 3). Корнями квадратного трехчлена x² + 4x + 3 являются числа -1 и -3. Процесс поиска корней исходного многочлена завершен.
Ответ: x⁵ - 2x⁴ - 10x³ + 20x² + 9x - 18 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x + 3).