Деление многочлена на двучлен по схеме Горнера

Рассмотрим частный случай деления многочленов – деление многочлена на двучлен вида x - b0. Алгоритм деления для этого случая называется схемой Горнера или методом сокращенного деления многочлена на двучлен.
Download on the App Store
Download on the Mac App Store
Android app on Google Play
Пусть требуется поделить многочлен

a(x)= an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + ... + a1*x + a0

на двучлен b(x)= x - b0, то есть требуется представить многочлен a(x) в виде

a(x)=b(x)*c(x) + r(x), где степень частного c(x) равна n-1, а степень остатка r(x) равна 0. Пусть

c(x)= cn-1*xn-1 + cn-2*xn-2 +  ... + c1*x + c0,

r(x)=r0.

То есть a(x) = (x - b0)*(cn-1*xn-1 + cn-2*xn-2 +  ... + c1*x + c0) + r0.

Перемножим x - b0 и c(x), сложим с r0 и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Получим рекуррентные формулы для определения значений ci и остатка r0.

cn-1=a0,

cn-2=a1 + cn-1*b0,

...

c1=an-2 + c2*b0,

c0=an-1 + c1*b0,

r0=an + c0*b0. Для удобства вычислений по этим формулам создается таблица, заполняемая слева направо.

В первой строке записываются коэффициенты делимого в порядке убывания степеней x и число b0.

Во второй строке - соответствующие значения выражений сi*b0 (первое число 0, так как cn=0).

Числа в первой строке складываются с числами во второй и записываются в третью строку. В результате в третьей строке мы получаем коэффициенты частного, а последнее число – это остаток.

Деление многочленов по схеме Горнера

Заполняют эту таблицу в таком порядке:

Сначала заполняют первую строку. Под первым числом первой строки пишем 0.

Складываем числа в первом столбце, и результат будет первым числом третьей строки.

Затем первое число третьей строки cn-1 умножаем на последнее число первой строки b0, результат записываем на второе место второй строки.

Складываем числа второго столбца и получаем второе число третьей строки cn-2.

Это число опять умножаем на последнее число первой строки b0, результат записываем на третье место во второй строке.

Складываем числа третьего столбца, и получаем третье число третьей строки и т.д.

Хотя объяснение выглядит довольно громоздким, но выполнять деление с помощью схемы Горнера очень просто и удобно. Рассмотрим применение схемы Горнера на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее ...



Пример 1. Разделить многочлен x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 на двучлен x-3 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)=x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6, b0=3. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Деление многочленов по схеме Горнера - пример

Таким образом, остаток r (это последнее число в третьей строке) равен нулю. Значит, многочлен x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 разделился на x - 3 нацело. Частное с(x)=1*x3 + 0*x2 - 3x - 2.

Ответ: x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6=(x3 - 3x - 2)*(x - 3).

Пример 2. Разделить многочлен 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612 на двучлен x + 4 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)= 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612, b0=-4. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Деление многочленов по схеме Горнера - пример

Остаток r = 100 - это последнее число в третьей строке. Частное с(x)=2*x4 - 3*x3 - 8*x2 - 32*x + 128.

Ответ: 2x5 + 5x4 - 4x3 + 612 = (2x4 - 3x3 - 8x2 - 32x + 128)*(x + 4) + 100.

Деление многочлена a(x) на двучлен вида b1 x - b0 легко сводится к случаю деления на x - b0.

Пусть a(x) = (b1x - b0)* c(x) + r0, можно преобразовать это выражение

Деление многочлена на двучлен

Анализ последнего выражения показывает, что остаток от деления a(x) на b1x - b0 тот же самый, что и остаток от деления a(x) на x - b0/b1, а коэффициенты частного c(x) получаются из коэффициентов частного от деления на x - b0/b1 делением их на b1.

Пример 3. Разделить многочлен x3 - 6x2 + 5x + 2 на двучлен 2x + 1 используя схему Горнера.

Решение.

Так как 2x + 1=2(x + 1/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x + 1/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на 2.

Деление многочленов на двучлены

Остаток r0 = -17/8. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на 2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 2x + 1

частное от деление многочлена на двучлен

Ответ:
деление многочлена на двучлен

Пример 4. Разделить многочлен x5 - x3 + 2x - 1 на двучлен 3 - 2x.

Решение.

Так как 3 - 2x = - 2(x - 3/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x - 3/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на -2.

Разделить многочлен на двучлен

Остаток r0 = 199/32. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на -2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 3 - 2x

частное от деление многочлена на двучлен

Ответ:
деление многочлена на двучлен

Использование схемы Горнера для разложения многочлена по степеням двучлена


Рассмотрим еще одно применение схемы Горнера – разложение многочлена по степеням двучлена. Для любого многочлена деление многочлена на двучлен

где деление многочлена на двучлен и для любого числа b0 можно написать разложение a(x) по степеням x - b0:

деление многочлена на двучлен

Как видно из этой формулы, чтобы вычислить p0, необходимо разделить многочлен a(x) на x - b0 и найти остаток r = p0 . В частном мы получим многочлен

деление многочлена на двучлен

Теперь, чтобы вычислить p1, необходимо разделить многочлен d1 (x) на x - b0 и найти остаток r=p1. В частном получим многочлен деление многочлена на двучлен

Далее продолжаем деление до тех пор, пока в частном не получится число. Полученный на последнем шаге остаток будет равен pn-1, а частное dn=pn.

На каждом шаге деление на x - b0 будем проводить с помощью схемы Горнера. При этом очень удобно результаты вычислений записывать в одну общую таблицу. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 5. Разложить многочлен 2x4 + x3 - 5x + 3 по степеням двучлена x + 1.

Решение.

Все вычисления проведем, последовательно заполняя таблицу в соответствии с алгоритмом. Разложить многочлен по степеням двучлена

Таким образом, получаем, что остаток от деления исходного многочлена на x+1 равен 9, коэффициенты частного 2,-7,9,-10.

Ответ: 2x4 + x3 - 5x + 3 = 2(x + 1)4 - 7(x + 1)3 + 9(x + 1)2 - 10(x + 1) + 9.

Вычисление значения многочлена в заданной точке с помощью схемы Горнера


Еще одна задача, которую можно решать с помощью схемы Горнера – вычисление значения многочлена в заданной точке. Пусть многочлен a(x) делится на двучлен x - b0 с остатком r0. То есть

Разложить многочлен по степеням двучлена

Если в это равенство подставить значение x=b0, получим a(b0)=r0. Таким образом, мы доказали теорему Безу.

Теорема Безу. Если x0 - произвольное число, то при делении многочлена a(x) на двучлен x-x0 получается остаток, равный значению многочлена при x=x0, то есть r0= a(x0).

Таким образом, с помощью схемы Горнера можно находить значение многочлена при заданном значении x=x0 как остаток от деления этого многочлена на двучлен x-x0. Иногда это сделать гораздо проще, чем подставлять x0 в исходный многочлен.

У теоремы Безу есть очень важное следствие.

Следствие. Число x0 является корнем многочлена a(x) тогда и только тогда, когда многочлен a(x) делится нацело на двучлен x-x0.

Это следствие позволяет проверять, является ли число x0 корнем многочлена, вычисляя остаток от деления многочлена на двучлен x-x0.

Пример 6. Вычислить значение многочлена 2x6 + 6x5 + x4 - 4x3 + 3x2 - x - 1 при x=-3.

Решение.

Вычислить значение многочлена при x=-3 равносильно найти остаток при делении этого многочлена на x+3. Для этого воспользуемся схемой Горнера

Вычислить значение многочлена

Остаток r (это последнее число в третьей строке) равен 218.

(Частное с(x)=2x5 + x3 - 7x2 + 24x - 73;
2x6 + 6x5 + x4 - 4x3 + 3x2 - x - 1=(2x5 + x3 - 7x2 + 24x - 73)*(x+3)+218).

Ответ: 218.

Business Contact Book - Contact Management Software
Copyright © 2022 Intemodino Group s.r.o.
Все права защищены