Степень частного c(x) равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка r(x) меньше степени делителя, следовательно, максимальная степень r(x) может быть равна m-1.
Таким образом, частное c(x) – это многочлен степени n-m с неизвестными коэффициентами сi
c(x)= cn-mxn-m + cn-m-1xn-m-1 + cn-m-2xn-m-2 + ... + c1x + c0,
а остаток r(x) - многочлен степени m-1 с неизвестными коэффициентами rj
r(x)= rm-1xm-1 + rm-2xm-2 + rm-3xm-3 + ... + r1x + r0.
Чтобы найти неизвестные коэффициенты сi и rj, просто перемножим b(x)* c(x), сложим с r(x) и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства a(x)=b(x)* c(x) + r(x).
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов при делении многочлена на многочлен.
Пример 1. Разделить многочлен 5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 на многочлен x3 - 2x2 + 1 методом неопределенных коэффициентов.
Решение.
Делимое a(x)=5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 - многочлен степени 4,
делитель b(x)= x3 - 2x2 + 1 - многочлен степени 3.
Следовательно, частное c(x) - многочлен степени 4-3 = 1
c(x) = c1x + c0,
а остаток r(x) - многочлен степени 3-1=2
r(x) = r2x2 + r1x + r0.
Перемножая и складывая многочлены в выражении b(x)*c(x) + r(x), получаем
(x3-2x2 + 1)*(c1x + c0) + r2x2 + r1x + r0 = c1*x4 + x3*(c0 - 2c1) + x2*(r2 - 2c0) + x*(c1 + r1 ) + c0 + r0.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве
a(x)=b(x)* c(x) + r(x),
получим систему уравнений для нахождения неизвестных c0, c1, r0, r1, r2.
c1=5,
c0 - 2c1=-3,
r2 - 2c0=2,
c1 + r1=-1,
c0 + r0=3
Последовательно решая уравнения с помощью подстановки известных значений сi, rj, найдем решение системы
c1=5,
c0=7,
r2=16,
r1=-6,
r0=-4.
Следовательно, c(x) = 5x + 7; r(x)=16x2 - 6x - 4.
Ответ: 5x4 - 3x3 + 2x2 - x + 3 = (x3 - 2x2 + 1)*(5x + 7) + 16x2 - 6x - 4.
RU