Деление многочлена на многочлен

Выражение вида

P(x)=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n

называется многочленом от x степени n с действительными коэффициентами, если коэффициенты a_i - действительные числа, и a₀ ≠ 0. Коэффициент a_n называется свободным членом многочлена.


Если P(x), b(x), c(x) – такие многочлены, что P(x)=b(x) * c(x), то говорят, что многочлен P(x) делится нацело на многочлен b(x) или на многочлен c(x).

Если P(x)=b(x)*c(x) + r(x) и степень r(x) меньше степени многочлена b(x), то говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен b(x) c остатком r(x). Здесь многочлен P(x) - делимое, многочлен b(x) - делитель, многочлен с(x) - частное, а многочлен r(x) - остаток.

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Самым простым способом деления многочленов является способ деления столбиком или «уголком» по аналогии с делением натуральных чисел.

Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)

Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком (уголком):

1. Записываем оба многочлена по убыванию степеней.

2. Старший член делимого делим на старший член делителя. Полученный одночлен является очередным членом частного.

3. Вычитаем из делимого произведение первого члена частного на делитель. Полученный в результате многочлен является остатком.

4. Если степень остатка больше или равна степени делителя, то в качестве делимого используем этот остаток и переходим к пункту 2 для получения следующего члена частного.

Если же степень остатка меньше степени делителя, то процесс деления завершен, последний остаток и будет остатком от деления исходных многочленов.

Если при этом остаток равен нулю, значит, многочлены разделились нацело, без остатка.

Рассмотрим работу алгоритма деление многочленов столбиком на примерах.

Деление многочлена на многочлен с остатком

Пример 1.
Разделить многочлен 3x⁵ + 2x⁴ + x² - x + 1 на многочлен x³ + 2x² + x.
Решение.
Опишем алгоритм деления многочленов для этого примера по шагам.

1. Запишем оба многочлена по убыванию степеней
3x⁵ + 2x⁴ + x² - x + 1 = 3x⁵ + 2x⁴ + 0*x³ + x² - x + 1,
x³ + 2x² + x = x³ + 2x² + x

2. Делим первый член делимого 3x⁵ на первый член делителя x³. Получаем первый член частного 3x².

3. Умножаем первый член частного 3x² на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен 3x⁵ + 6x⁴ + 3x³ и записываем его под делимым.

4. Вычитаем из делимого 3x⁵ + 2x⁴ + 0*x³ + x² - x + 1 написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток -4x⁴ - 3x³ + x² - x + 1.

5. Делим первый член первого остатка -4x⁴ на первый член делителя x³. Получаем второй член частного -4x.

6. Умножаем второй член частного -4x на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен -4x⁴ - 8x³ - 4x² и записываем его под первым остатком.

7. Вычитаем из первого остатка -4x⁴ - 3x³ + x² - x + 1 написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток 5x³ + 5x² - x + 1.

8. Делим первый член второго остатка 5x³ на первый член делителя x³. Получаем третий член частного 5.

9. Умножаем третий член частного 5 на делитель x³ + 2x² + x. Получаем многочлен 5x³ + 10x² + 5x и записываем его под вторым остатком.

10. Вычитаем из второго остатка 5x³ + 5x² - x + 1 написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток -5x² - 6x + 1.

11. Степень третьего остатка меньше степени делителя, следовательно, процесс деления завершен. Частное от деления 3x² - 4x + 5, остаток -5x² - 6x + 1.

Запишем деление многочленов в виде деления "уголком".



Ответ: 3x⁵ + 2x⁴ + x² - x + 1 = (3x² - 4x + 5)*(x³ + 2x² + x) - 5x² - 6x + 1.

Пример 2.
Разделить многочлен 5x⁴ - 4x³ + 2x² + 1 на многочлен x² + x + 1.
Решение.
Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)



Ответ: 5x⁴ - 4x³ + 2x² + 1 = (5x² - 9x + 6)*(x² + x + 1) + 3x - 5.

Деление многочлена на многочлен без остатка

Пример 3.
Разделить многочлен 2x⁴ - 11x³ + 19x² - 13x + 3 на многочлен 2x² - 3x + 1.
Решение.
Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)


Многочлен 2x⁴ - 11x³ + 19x² - 13x + 3 делится на многочлен 2x² - 3x + 1 без остатка.

Ответ: 2x⁴ - 11x³ + 19x² - 13x + 3 = (x² - 4x + 3)*(2x² - 3x + 1).