Формулы Крамера

Решение систем линейных уравнений (формулы Крамера)

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ..., x_n, то есть систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных.



Определителем этой системы называется определитель



Заменим в определителе какой-либо столбец, например, j-ый, столбцом b из свободных членов. Полученный таким образом определитель обозначим , то есть



Тогда, если определитель системы , то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле Крамера (правило Крамера):

Так как вычисление определителей 4-ого и более высоких порядков довольно громоздкая процедура, то нахождение корней системы линейных уравнений по формулам Крамера целесообразно для систем двух или трех уравнений. Выпишем формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель второго порядка



Определитель третьего порядка



Рассмотрим применение формул Крамера на примерах.

Пример 1. Решить систему



Решение.

1. Вычислим определитель этой системы:



Определитель системы равен -9 < 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2. Вычислим определители и , которые получаются из определителя заменой первого и второго столбца, соответственно, на столбец свободных членов:



3. По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:



Ответ: x = 5, y = 1.

Пример 2. Решить систему



Решение.

1. Вычислим определитель этой системы:



Определитель системы равен 5 < 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2. Вычислим определители , и , которые получаются из определителя заменой первого, второго и третьего столбцов, соответственно, на столбец свободных членов:



3. По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:



Ответ: x = 3, y = -1, z = 1.