Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, ..., x_n, то есть систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных.


Определителем этой системы называется определитель матрицы ее коэффициентов


Заменим в определителе какой-либо столбец, например, j-ый, столбцом b из свободных членов. Полученный таким образом определитель обозначим


Тогда, если определитель системы
то эта система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера (правило Крамера):

Так как вычисление определителей 4-ого и более высоких порядков довольно громоздкая процедура, то нахождение корней системы линейных уравнений по формулам Крамера целесообразно для систем двух или трех уравнений. Выпишем формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель второго порядка


Определитель третьего порядка


Рассмотрим применение формул Крамера на примерах.

Примеры решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера

Пример 1.
Решить систему
Решение.
1) Вычислим определитель этой системы:
Определитель системы равен -9 ≠ 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2) Вычислим два определителя, которые получаются из определителя системы заменой первого и второго столбца, соответственно, на столбец свободных членов:

3) По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:

Ответ: x = 5, y = 1.

Пример 2.
Решить систему
Решение.
1) Вычислим определитель этой системы:
Определитель системы равен 5 ≠ 0, следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

2) Вычислим 3 определителя, которые получаются из определителя системы заменой первого, второго и третьего столбцов, соответственно, на столбец свободных членов:



3) По формулам Крамера вычисляем значения неизвестных:


Ответ: x = 3, y = -1, z = 1.