Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы дробь привести к новому знаменателю, надо и числитель дроби, и ее знаменатель умножить на один и тот же множитель. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Приводить несколько дробей к наименьшему общему знаменателю можно следующим образом:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, это и будет наименьший общий знаменатель этих дробей;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели дробей, чтобы найти для каждой дроби соответствующий множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на найденный для нее множитель.

Пример 1. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 5, 15, 100 на простые множители:

5 = 5;

15 = 3*5;

100 = 2*2*5*5.

Выбираем число 100 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 5 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*5*5*3=300. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 300.

Теперь разделим число 300 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

300:5=60 => ;

300:15=20 => ;

300:100=3 => .

Пример 2. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 12, 60, 80 на простые множители:

12 = 2*2*3;

60 = 2*2*3*5;

80 = 2*2*2*2*5.

Выбираем число 80 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 12 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*2*2*5*3=240. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 240.

Теперь разделим число 240 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

240:12=20 => ;

240:60=4 => ;

240:80=3 => .

Пример 3. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 13, 8, 5 на простые множители:

13 = 13;

8 = 2*2*2;

5 = 5.

Выбираем число 13 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 8 и 5, которых еще нет в разложении: 13*2*2*2*5=520. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 520.

Теперь разделим число 520 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

520:13=40 => ;

520:8=65 => ;

520:5=104 => .

Сложение дробей с разными знаменателями

Пример 1. Вычислить сумму .

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей:

5 = 5;

25 = 5*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 5*5 = 25.

.

Пример 2. Вычислить сумму .

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

24 = 2*2*2*3;

16 = 2*2*2*2.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*2*3*2=48.

.

Пример 3. Вычислить сумму .

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями на примерах.

Пример 1. Вычислить разность .

Чтобы найти разность этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить разность дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

.

Пример 2. Вычислить разность .

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

9 = 3*3;

6 = 2*3.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 3*3*2=18.

.