Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму или разность дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы дробь привести к новому знаменателю, надо и числитель дроби, и ее знаменатель умножить на один и тот же множитель. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Приводить несколько дробей к наименьшему общему знаменателю можно следующим образом:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, это и будет наименьший общий знаменатель этих дробей;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели дробей, чтобы найти для каждой дроби соответствующий множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на найденный для нее множитель.

Примеры приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

Пример 1.
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .

Решение.
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 5, 15, 100 на простые множители:
5 = 5;
15 = 3*5;
100 = 2*2*5*5.
Выбираем число 100 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 5 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*5*5*3=300. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 300.
Теперь разделим число 300 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:
300:5=60 => ;
300:15=20 => ;
300:100=3 => .
Ответ: .

Пример 2.
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .
Решение.
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 12, 60, 80 на простые множители:
12 = 2*2*3;
60 = 2*2*3*5;
80 = 2*2*2*2*5.
Выбираем число 80 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 12 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*2*2*5*3=240. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 240.
Теперь разделим число 240 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:
240:12=20 => ;
240:60=4 => ;
240:80=3 => .

Ответ:

Пример 3.
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби .
Решение.
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 13, 8, 5 на простые множители:
13 = 13;
8 = 2*2*2;
5 = 5.
Выбираем число 13 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 8 и 5, которых еще нет в разложении: 13*2*2*2*5=520. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 520.
Теперь разделим число 520 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:
520:13=40 => ;
520:8=65 => ;
520:5=104 => .
Ответ:

Примеры сложения дробей с разными знаменателями

Пример 4.
Вычислить сумму .
Решение.
Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.
Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей:
5 = 5;
25 = 5*5.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 5*5 = 25.
.

Ответ: .

Пример 5.
Вычислить сумму .
Решение.
Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.
24 = 2*2*2*3;
16 = 2*2*2*2.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*2*3*2=48.
.
Ответ: .

Пример 6.
Вычислить сумму .
Решение.
Найдем наименьший общий знаменатель дробей:
12 = 2*2*3;
20 = 2*2*5.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.
.
Ответ: .

Рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями на примерах.

Примеры вычитания дробей с разными знаменателями

Пример 7.
Вычислить разность .
Решение.
Чтобы найти разность этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить разность дробей с полученными одинаковыми знаменателями.
.
Ответ: .

Пример 8.
Вычислить разность .
Решение.
Найдем наименьший общий знаменатель дробей:
9 = 3*3;
6 = 2*3.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 3*3*2=18.
.
Ответ: .