Наименьшее общее кратное (НОК)

Если одно число делится на другое без остатка, то говорят, что первое число кратно второму. Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на эти числа. Другими словами, НОК нескольких чисел – это наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Как найти НОК двух чисел

Чтобы найти НОК двух чисел, надо
1) разложить эти числа на простые множители;
2) выбрать одно из этих чисел и выписать все множители, входящие в разложение этого числа;
3) добавить те множители из разложения второго числа, которых нет в разложении выбранного числа;
4) найти произведение полученных множителей.

Как найти НОК нескольких чисел

Чтобы найти НОК нескольких чисел, надо
1) разложить эти числа на простые множители;
2) выбрать одно из этих чисел и выписать все множители, входящие в разложение этого числа;
3) перебрать по порядку оставшиеся числа, добавляя недостающие множители из разложений других чисел;
4) найти произведение полученных множителей.

НОК нескольких чисел так же, как и НОД, можно находить постепенно. Сначала НОК первых двух чисел, потом НОК полученного результата и третьего числа, затем НОК результата и четвертого числа и т.д.

Примеры.

Пример 1.
Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 16.
Решение.
12 = 2*2*3;

16 = 2*2*2*2.

Выбираем число 16. Из разложения числа 12 добавляем к его множителям множитель 3, которого нет у числа 16: 2*2*2*2*3=48.
Cледовательно, НОК(12, 16) = 48.
Если выбрать число 12, то из разложения числа 16 нужно добавить множитель 2 два раза, так как в числе 12 только два множителя 2, а в числе 16 их четыре: 2*2*3*2*2=48.
Cледовательно, НОК(12, 16) = 48.
Ответ: 48.

Пример 2.
Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 396 и 180.
Решение.
396 = 2*2*3*3*11;

180 = 2*2*3*3*5.

Выбираем число 396. Из разложения числа 180 добавляем к его множителям множитель 5, которого нет у числа 396. То есть, 2*2*3*3*11*5=1980.
Cледовательно, НОК(396, 180) = 1980.
Ответ: 1980.

Пример 3.
Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 34, 51 и 68.
Решение.
34 = 2*17;

51 = 3*17;

68 = 2*2*17.

Выбираем число 34. Из разложения числа 51 добавляем к его множителям множитель 3, которого нет у числа 34. Получаем разложение 2*17*3. Из разложения числа 68 добавляем множитель 2, так как в числе 68 два множителя 2, а в нашем разложении один множитель 2. То есть, 2*17*3*2=204.
Cледовательно, НОК(34, 51, 68) = 204.
Ответ: 204.

Пример 4.
Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 10, 21 и 36.
Решение.
10 = 2*5;

21 = 3*7;

36 = 2*2*3*3.

Выбираем число 10. Из разложения числа 21 добавляем к его множителям множители 3 и 7, которых нет у числа 10. Получаем разложение 2*5*3*7. Из разложения числа 36 добавляем множители 2 и 3, так как в числе 36 два множителя 2 и два множителя 3, а в нашем разложении один множитель 2 и один 3. То есть, 2*5*3*7*2*3=1260.
Cледовательно, НОК(10, 21, 36) = 1260.
Ответ: 1260.

Пример 5.
Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12, 30, 60 и 75.
Решение.
12 = 2*2*3;

30 = 2*3*5;

60 = 2*2*3*5;

75 = 3*5*5.

Выбираем число 12. Из разложения числа 30 добавляем к его множителям множитель 5, которого нет у числа 12. Получаем разложение 2*2*3*5. Из разложения числа 60 ничего не добавляем, так как все его множители присутствуют в нашем разложении. Из разложения числа 75 добавляем множитель 5, так как в разложении числа 75 два множителя 5, а в нашем разложении один множитель 5. То есть, 2*2*3*5*5=300.
Cледовательно, НОК(12, 30, 60, 75) = 300.
Ответ: 300.