Четырехугольники, вписанные в окружность и описанные вокруг окружности

Обозначения:
R - радиус описанной окружности;
r - радиус вписанной окружности;
α, β, γ, δ - углы четырехугольника;
a, b, c, d - стороны четырехугольника;
S - площадь четырехугольника.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Окружности, описанные вокруг четырехугольника.

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все четыре вершины четырехугольника. Окружность в этом случае называется описанной вокруг четырехугольника.

1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов: α+β = γ+δ = 180^∘.
2. Теорема Птолемея.
Для вписанного четырехугольника произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин двух пар его противоположных сторон AC*BD = AB*CD + BC*AD.
Обратная теорема.
Если произведение длин диагоналей четырехугольника равно сумме произведений длин двух пар его противоположных сторон, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.
3. Окружность можно описать
- около параллелограмма тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – прямоугольник;
- около ромба тогда и только тогда, когда этот ромб – квадрат;
- около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.
4. Формула Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника с полупериметром p = (a+b+c+d)/2:

Четырехугольники, описанные вокруг окружности. Окружности, вписанные в четырехугольники.

Четырехугольник называется описанным вокруг окружности, если окружность касается всех четырех сторон четырехугольника. Окружность в этом случае называется вписанной в четырехугольник.

1. Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны a+c = b+d.
2. Окружность можно вписать
- в любой ромб;
- в любой квадрат.
3. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии.
4. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. 5. Формула площади описанного четырехугольника через радиус вписанной окружности и стороны четырехугольника:

S = (a+b+c+d)*r/2.

6. Формула площади описанного четырехугольника, если вокруг него можно описать окружность: