Операции с векторами

Вычитание векторов

Правило вычитания векторов получим с помощью определения сложения векторов. Разностью $\vec{c}$ векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$:

$$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$$
Таким образом, чтобы получить разность векторов $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$, нужно отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки на плоскости и соединить конечные точки этих векторов отрезком, направленным к тому вектору, из которого производится вычитание, то есть к вектору $\vec{a}$.

Умножение вектора на число

Для любого числа p и любого вектора $\vec{a}$ вектор p$\vec{a}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ при p≥0, и противоположно направлен при p<0, а длина вектора p$\vec{a}$ равна |p|⋅|$\vec{a}$|.
Из определения умножения вектора на число следует, что

0⋅$\vec{a}$ = $\vec{0}$;    p⋅$\vec{0}$ = $\vec{0}$.

Свойства операций над векторами

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ и произвольных чисел p и q справедливы равенства:
1) Свойство коммутативности: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$,   $\vec{a}\cdot \; p\; =p\; \cdot \vec{a}$;
2) Свойство ассоциативности: $\vec{a}+\; (\vec{b}+\vec{c})\; =\; (\vec{a}+\vec{b})\; +\vec{c}$;
3) Свойство нейтрального элемента по сложению: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$;
4) $\vec{a}+\; (\; -\vec{a})\; =\vec{0}$;
5) $\vec{a}\cdot \; 1\; =\vec{a}$;
6) Сочетательное свойство операции умножения вектора на число: $(p\; \cdot \; q)\; \cdot \vec{a}=\; p\; \cdot \; (q\; \cdot \vec{a}$);
7) Распределительные свойства умножения вектора на число: $p\; \cdot \; (\vec{a}+\vec{b})\; =\; p\; \cdot \vec{a}+\; p\; \cdot \vec{b}$,   $(p\; +\; q)\; \cdot \vec{a}=\; p\; \cdot \vec{a}+\; q\; \cdot \vec{a}$;
Свойства коммутативности и ассоциативности позволяют складывать векторы в произвольном порядке.