Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Каждое комплексное число z=a+bi, отличное от нуля, может быть записано в виде

z = r(cosφ + i sinφ),

где r - модуль числа, а φ - один (любой) из его аргументов. Такая запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи числа к тригонометрической, достаточно найти модуль комплексного числа и один из его аргументов. Два числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а разность аргументов кратна 2π.

Пример 1.
Записать число z = -5 в тригонометрической форме.
Решение.
z = -5 ⇔ a=-2; b=0 ⇔ r=5; cosφ = -5/5=-1; sinφ = 0. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=π. Следовательно, z=5(cos(π) + i sin(π)).
Ответ: z=5(cos(π) + i sin(π)).

Пример 2.
Записать число z = i в тригонометрической форме.
Решение.
z = i ⇔ a=0; b=1 ⇔ r=1; cosφ = 0; sinφ = 1. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=π/2. Следовательно, z=cos(π/2) + i sin(π/2)).
Ответ: z=cos(π/2) + i sin(π/2)).

Пример 3.
Записать число z = -1-i в тригонометрической форме.
Решение.
z = -1-i ⇔ a=-1; b=-1 ⇔ |z₁|=r=√((-1)²+(-1)²)=√2; cosφ = a/r = -1/√2; sinφ = b/r = -1/√2. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=-3π/4. Следовательно, z₁=√2(cos(-3π/4) + i sin(-3π/4)). Так как для тригонометрической формы записи можно использовать любой его аргумент, то возможна и такая форма записи: z₁=√2(cos(5π/4) + i sin(5π/4)).
Ответ: z=√2(cos(-3π/4) + i sin(-3π/4)).

Пример 4.
Записать число z = 3cos(-9π/4) - 3i sin(π/4) в тригонометрической форме.
Решение.
В этом случае нет необходимости находить модуль и аргумент z. Достаточно заметить, что z = 3(cos(-9π/4) - i sin(π/4)) и cos(-9π/4)=cos(-π/4), а -i sin(π/4)=i sin(-π/4). Следовательно, z = 3(cos(-π/4) + i sin(-π/4)).
Ответ: z=3(cos(-π/4) + i sin(-π/4)).

Пример 5.
Записать число z = cos(π) + i sin(π/2) в тригонометрической форме.
Решение.
Чтобы записать это число в тригонометрической форме, сначала запишем его в алгебраической форме: z = cos(π) + i sin(π/2) = -1 + i. Следовательно, z = -1+i ⇔ a=-1; b=1 ⇔ r=√2; cosφ = -1/√2; sinφ = 1/√2. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=3π/4. Таким образом, z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).
Ответ: z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается очень простой и удобной при умножении и делении комплексных чисел.

Умножение чисел, записанных в тригонометрической форме

Пусть z₁ = r₁(cosφ₁+i sinφ₁), z₂ = r₂(cosφ₂+i sinφ₂). Получим формулу их произведения в тригонометрической форме:

z₁z₂ = r₁r₂(cosφ₁cosφ₂-sinφ₁sinφ₂+i sinφ₁cosφ₂+icosφ₁sinφ₂),

z₁z₂ = r₁r₂(cos(φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)).

Таким образом,

|z₁z₂| = r₁r₂,     arg(z₁z₂) = φ₁+φ₂ + 2πk, k∈Z.

Справедливо следующее утверждение: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Пример 6.
Найти произведение чисел z₁ = √2(cos11π/4+i sin11π/4), z₂ = √8(cos3π/8+i sin3π/8).
Решение.
В соответствии с правилом умножения чисел, записанных в тригонометрической форме, |z₁z₂|=√2√8=4. Аргумент произведения z₁z₂ равен сумме аргументов сомножителей φ₁+φ₂ = 11π/4+3π/8=25π/8.
Следовательно, z₁z₂=4(cos(25π/8) + i sin(25π/8))=4(cos(9π/8) + i sin(9π/8)).
Ответ: z₁z₂ = 4(cos(9π/8) + i sin(9π/8)).

Пример 7.
Найти произведение чисел z₁ = 4(cos2π/5+i sin2π/5), z₂ = 3(cos5π/7+i sin5π/7).
Решение.
В соответствии с правилом умножения чисел, записанных в тригонометрической форме, |z₁z₂|=4*3=12. Аргумент произведения z₁z₂ равен сумме аргументов сомножителей φ₁+φ₂ = 2π/5+5π/7=39π/35.
Следовательно, z₁z₂=12(cos(39π/35) + i sin(39π/35))=12(cos(-31π/35) + i sin(-31π/35)).
Ответ: z₁z₂ = 12(cos(-31π/35) + i sin(-31π/35)).

Деление чисел, записанных в тригонометрической форме

Получим формулу для частного двух комплексных чисел z₁ = r₁(cosφ₁+i sinφ₁) и z₂ = r₂(cosφ₂+i sinφ₂) в тригонометрической форме. Умножим числитель и знаменатель частного z₁/z₂ на комплексно сопряженное знаменателю число cosφ₂-i sinφ₂:

z₁/z₂

=

r₁(cosφ₁+isinφ₁)(cosφ₂-isinφ₂)/r₂(cosφ₂+i sinφ₂)(cosφ₂-i sinφ₂)

=

=

r₁(cosφ₁cosφ₂+ sinφ₁sinφ₂ +isinφ₁cosφ₂-i cosφ₁sinφ₂)/r₂(cos²φ₂+sin²φ₂)

.

Следовательно,

z₁/z₂

=

r₁/r₂

(cos(φ₁-φ₂) + i sin(φ₁-φ₂)).

То есть,

|z₁/z₂| = r₁/r₂,     arg(z₁/z₂) = φ₁-φ₂ + 2πk, k∈Z.

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример 8.
Найти частное чисел z₁ = i-1, z₂ = cosπ/3+i sinπ/3.
Решение.
Число z₂ записано в тригонометрической форме. Представим число z₁ = i-1 в тригонометрической форме: z₁ = i-1 ⇔ a=-1; b=1 ⇔ |z₁|=r=√2; cosφ = a/r = -1/√2; sinφ = b/r = 1/√2. Этим значениям косинуса и синуса соответствует значение аргумента φ=3π/4. Следовательно, z₁ = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4)). В соответствии с правилом деления чисел, записанных в тригонометрической форме, |z₁/z₂|=√2, а аргументом частного z₁/z₂ будет разность аргументов делимого и делителя 3π/4-π/3 = 5π/12.
Таким образом, z₁/z₂=√2(cos(5π/12) + i sin(5π/12)).
Ответ: z₁/z₂ = √2(cos(5π/12) + i sin(5π/12)).

Пример 9.
Найти частное чисел z₁ = 6(cos7π/10+i sin7π/10), z₂ = 2(cosπ/5+i sinπ/5).
Решение.
В соответствии с правилом деления чисел, записанных в тригонометрической форме, |z₁/z₂|=6/2=3, а аргументом частного z₁/z₂ будет разность аргументов делимого и делителя 7π/10-π/5 = π/2.
Таким образом, z₁/z₂=3(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 3(0+i) = 3i.
Ответ: z₁/z₂ = 3(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 3i.