Биссектриса, медиана, высота и средняя линия треугольника

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

1. Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

AB ∕ AC = A₁B ∕ A₁C.

3. В треугольнике точка пересечения биссектрис делит биссектрису в отношении

AO ∕ OA₁=(AB+AC) ∕ BC.

4. Длина биссектрисы l_с, проведенной к стороне c треугольника со сторонами a, b, c, равна где c_a и c_b – отрезки, на которые биссектриса делит сторону c.

Медиана треугольника

Медианой трегольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

5. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.
6. В треугольнике точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

7. Длина медианы m_a, проведенной к стороне a треугольника со сторонами a, b, c равна
8. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
9. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Высота треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основание этого перпендикуляра называется также основанием высоты.

10. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника. У тупоугольного треугольника ортоцентр находится вне треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.

11. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

12. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

13. Три средних линии треугольника делят треугольник на 4 равных треугольника.