Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отложим оба эти вектора от одной точки плоскости. Углом между двумя векторами называется минимальный угол от 0° до 180°, на который надо повернуть один из них, чтобы направления векторов совпали. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°, если же противоположно направлены, то угол между ними равен 180°. В случае, если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними считается равным нулю. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается $\widehat{\vec{a},\vec{b}}$.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: $$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \mathrm{cos(}\widehat{\vec{a},\vec{b}})$$ Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то $\mathrm{cos(}\widehat{\vec{a},\vec{b}}\mathrm{)\; =\; 0}$ и, следовательно, $\vec{a}\cdot \vec{b}=\; 0$. И наоборот, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, а $\vec{a}\cdot \vec{b}=\; 0$, то из определения скалярного произведения следует, что $\mathrm{cos(}\widehat{\vec{a},\vec{b}}\mathrm{)\; =\; 0}$.
Таким образом, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Из определения скалярного произведения для ненулевых векторов следует, что если угол между векторами острый, то скалярное произведение - положительное число, если угол тупой - отрицательное.
Если угол между векторами равен нулю, то $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Отсюда следует, что $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}|$².
Если угол между векторами 180°, то $\vec{a}\cdot \vec{b}=\; -|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$.
Очевидно, для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и произвольного числа q скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)  $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$;
2)  $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$;
3)  $(q\vec{a})\cdot \vec{b}=q(\vec{a}\cdot \vec{b})$.