Декартова система координат на плоскости

Декартовой системой координат на плоскости называют прямоугольную систему координат, представляющую собой две взаимно перпендикулярные координатные прямые с выбранными положительными направлениями этих прямых и заданными на них масштабами. Прямые называются осями координат, а точка пересечения этих прямых - началом координат. Начало координат обозначается буквой O.
Обычно ось OX - это горизонтальная прямая, ось OY - вертикальная. Ось OX называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат. Оси координат делят плоскость на 4 четверти, они обозначаются римскими цифрами и отсчитываются от луча OX против часовой стрелки. Абсцисса точки A - это число x, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки A до прямой OY. Если точка A расположена в правой полуплоскости, то её абсцисса x - положительное число, если в левой - отрицательное. Если точка A принадлежит оси OY, то x=0.
Аналогично, ордината точки A - это число y, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки A до прямой OX. Если точка A расположена в верхней полуплоскости, то её ордината y - положительное число, если в нижней - отрицательное. Если точка A принадлежит оси OX, то y=0. Числа x, y - координаты точки A, обозначается это так: A(x; y) или A=(x; y).

Координаты середины отрезка

Пусть дан отрезок AB: A=(x₁; y₁), B=(x₂; y₂). Нам нужно найти координаты (x; y) его середины - точки С.
Из точек A, B и C опустим перпендикуляры на ось X, они пересекут ось X в точках E(x₁; 0), F(x₂; 0), G(x; 0), соответственно. По теореме Фалеса точка G является серединой отрезка EF, то есть EG=GF. Следовательно, x-x₁=x₂-x. Отсюда получаем формулу для абсциссы точки G: x=(x₁+x₂)/2. Эта формула остается справедливой для любых случаев расположения точек A и B. Даже если AB параллельна OY, просто получаем, что абсциссы точек A, B и С совпадают.
Чтобы вывести формулу для ординаты точки C, опускаем перпендикуляры из точек A, B и C на ось OY и аналогичным образом находим, что ордината y точки G равна y=(y₁+y₂)/2.
Таким образом, формулы для координат середины отрезка имеют вид:

x=(x₁+x₂)/2,     y=(y₁+y₂)/2.

Длина отрезка, расстояние между точками

Пусть дан отрезок AB: A=(x₁; y₁), B=(x₂; y₂). Нам нужно найти его длину, то есть расстояние между точками A и B.
Из точек A и B опускаем перпендикуляры на оси X и Y. Прямая, перпендикулярная оси X и проходящая через точку A, пересекает прямую, перпендикулярную оси Y и проходящую через точку B, в точке C=(x₁; y₂). Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник ABC. Его гипотенузу AB найдем, используя теорему Пифагора:

AB² = AC² + BC² <=> AB² = (y₂ - y₁)² + (x₂ - x₁)²

Эта формула справедлива для любых случаев расположения точек A и B.
Таким образом, квадрат расстояния между двумя точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) определяется по формуле:

AB² = (y₂ - y₁)² + (x₂ - x₁)²