Квадратные уравнения

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным. Многочлен ax² + bx + c обычно называют квадратным трехчленом.

Квадратное уравнение называется полным, если коэффициенты b и c отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – уравнение, у которого либо b = 0, либо с = 0, либо и b = 0, и с = 0 одновременно. Следовательно, неполные квадратные уравнения имеют вид ax² = 0, либо ax² + с = 0, либо ax² + bx = 0.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение, у которого коэффициент a = 1, то есть уравнения вида x² + px + q = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Решение полных квадратных уравнений

Теорема Виета и ее применение для решения квадратных уравнений

Решение биквадратных уравнений

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1.
Решить квадратное уравнение Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:


Умножим на 4 обе части уравнения:

Ответ: -2, 2.

Пример 2.
Решить квадратное уравнение x² + 3x + 10 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 3, c = 10.
D = b² - 4ac = 3² - 4*1*10 = 9 - 40 = -31 < 0, следовательно, действительных корней нет.
Ответ: корней нет.

Пример 3.
Решить квадратное уравнение x² + 12x + 36 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 12, c = 36.
Так как b = 12 - четное число, то вычислим дискриминант D₁ :
D₁ = ()² - ac = 6² - 1*36 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
Это уравнение можно решить и без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
x² + 12x + 36 = 0 <=> (x + 6)² = 0 <=> x = -6.
Ответ: -6.