Уравнение окружности на плоскости

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки - центра окружности.
Пусть точка M с координатами (a; b) - центр окружности радиуса R, а точка N(x; y) - любая точка этой окружности. Тогда по определению радиуса R=MN. Пусть точка N₁(x₁; y₁) лежит внутри окружности, точка N₂(x₂; y₂) - вне окружности, а точка N(x; y) лежит на окружности.

Уравнение окружности

Используя формулу длины отрезка, получим Возведя последнее уравнение в квадрат, получим уравнение окружности: Этому уравнению удовлетворяют только те точки, которые принадлежат этой окружности.
Например, уравнение (x + 1)² + (y - 3)² = 25 определяет окружность с центром (-1;3) радиуса R=√25=5.
Если центр окружности находится в начале координат, то есть a=0, b=0, то уравнение окружности принимает вид:

x² + y² = R².

Например, уравнение x² + y² = 8 определяет окружность с центром в начале координат (0;0) радиуса R=√8=2√2.

Условия расположения точки относительно окружности

Рассмотрим окружность, заданную уравнением (x - a)² + (y - b)² = R².
Если точка N₁(x₁; y₁) лежит внутри окружности, то расстояние от центра (a; b) окружности до этой точки меньше радиуса окружности. Поэтому если выполняется условие

(x₁ - a)² + (y₁ - b)² < R²,

то точка N₁ лежит внутри окружности.
Если точка N₂(x₂; y₂) лежит вне окружности, то расстояние от центра окружности до этой точки больше радиуса окружности. Поэтому если выполняется условие

(x₂ - a)² + (y₂ - b)² > R²,

то точка N₂ лежит вне окружности.
Если же для точки N(x; y) выполняется условие

(x - a)² + (y - b)² = R²,

то точка N(x; y) лежит на окружности.

Особенности уравнения окружности

Если мы раскроем скобки в уравнении окружности, то получим следующее уравнение второго порядка:

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0.

Таким образом, легко видеть, что коэффициенты при x² и y² равны 1 и отсутствует член, содержащий произведение xy.
Рассмотрим уравнение второго порядка вида:

Ax² + Ay² + Bx + Dy + E = 0.

Разделим обе его части на A и выделим полные квадраты:

x² + y² + B/A⋅x + D/A⋅y + E/A = 0 ⇔

⇔ (x² + 2B/(2A)⋅x + B²/(4A²)) + (y² + 2D/(2A)⋅y + D²/(4A²)) + E/A - B²/(4A²) - D²/(4A²) = 0 ⇔

⇔ (x + B/(2A))² + (y + D/(2A))² = (B² + D² - 4AE) / (4A²).

Обозначив B/(2A)=-a, D/(2A)=-b, правую часть последнего уравнения (B²+D²-4AE) / (4A²) = F, получим уравнение:

(x - a)² + (y - b)² = F.

Рассмотрим три случая для значения правой части уравнения F: F>0, F=0 и F<0.
1) Если F>0, то уравнение определяет окружность с центром в точке (a; b) и радиусом R=√F.
2) Если F=0, то уранение принимает вид (x - a)² + (y - b)² = 0 и определяет единственную точку с координатами (a; b).
3) Если F<0, то уравнение не имеет действительных корней. Его решениями будут только комплексные числа, и уравнение в этом случае называется уравнением мнимой окружности.

Примеры определения координат центра и радиуса окружности, заданной уравнением второго порядка

1) x² + y² - 10x + 4y + 20 = 0
Это уравнение можно преобразовать следующим образом:

(x² - 10x + 25) + (y² + 4y + 4) + 20 - 25 - 4 = 0 ⇔ (x - 5)² + (y + 2)² = 9

Последнее уравнение определяет окружность, центр которой находится в точке (5;-2), а радиус R=3.

2) 3x² + 3y² + 6x - 12y + 8 = 0
Преобразуем это уравнение к виду:

3(x² + 2x + 1) + 3(y² - 4y + 4) + 8 - 3 - 12 = 0 ⇔ 3(x + 1)² + 3(y - 2)² = 7

Разделив последнее уравнение на 3, получим

(x + 1)² + (y - 2)² = 7/3

Последнее уравнение определяет окружность, центр которой находится в точке (-1;2), а радиус R=√7/3.

3) x² + y² - 16x - 2y - 15 = 0
Преобразуем это уравнение к виду:

(x - 8)² + (y - 1)² = -50

Это уравнение не имеет действительных корней и определяет мнимую окружность.