Расстояние от точки до прямой

Пусть задана произвольная точка P(x₀; y₀) и прямая MN: Ax + By + C = 0. Получим формулу для расстояния d от точки P до прямой MN. Запишем уравнение прямой как уравнение с угловым коэффициентом:

y = - A ∕ B ⋅ x - C ∕ B.

Найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат:

M: x=0  =>   y = - C ∕ B  =>  M(0; - C ∕ B).

N: y=0  =>   x = - C ∕ A  =>  N(- C ∕ A; 0).

Проведем прямую EF || MN через точку P. Используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку, и условие параллельности прямых, получаем уравнение прямой EF в виде:

y = - A ∕ B ⋅ x + y₀ + A ∕ B ⋅ x₀.

Расстояние между параллельными прямыми MN и EF равно расстоянию от точки P до прямой MN, то есть PQ=MK=d. Пусть ∠NOH=α, тогда ∠NOH=∠MEK=α, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Так как ΔEKM - прямоугольный, по определению синуса угла

sinα = MK / ME   ⇔   MK = ME⋅sinα.

Координаты точки M(0;- C ∕ B), а точки E(0; y₀ + A ∕ B ⋅ x₀), следовательно, длина отрезка ME равна:

Чтобы найти sinα, рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMON. По теореме Пифагора: Прямоугольный ΔMON подобен прямоугольному ΔHON, следовательно,

∠OMN=∠HON=α;    sinα=ON/MN.

Подставив значения длин отрезков ON и MN, получим


Таким образом, для расстояния MK имеем:


Окончательно, формула для расстояния от точки P(x₀; y₀) до прямой Ax + By + C = 0 имеет вид: